ré ,r‘ 4- 84 ré .r* 4- 36 ré x‘‘ 4- 9 té x 4- té
12i. Rang du terme tpii a le plus grttnrl eoeffieient. — Représentons par C^,^, le coefiieient du terme de rang y.» 4- i; nous aurons, à cause de la formule ( 3 ),
Pour de petites valeurs de p, la fraction nité; doneC j > les coefficients vont tVuhord en nugmentrint.
Cette augmentation cesse dès que le facteur
devient égal
ou inférieur à l’unité. Par conséquent, ^ rang du plus grand coefficient est égal ii la plus petite valeur de p 4- i tpd vérifie la
relation ; ^ i .
Elle doni\e
Donc, i" si m est impair, le rang du plus grand eoeffieient sera
oé si m est pair, le rang du plus grand coeffiieient sera
ni
Dans le premier cas, le développement a un nombre pair de
termes; el, cüniine p -{- i
AL(îi:i>lU‘.
ni 4- I
donne
— 1 , Y U ilviu:
termes du niitieu, dont les coefficients, plus grands que tous les autres, sont égaux entre eux.
Dans le second cas, le terme du milieu, de rang p f- 1 = ^ 4- 1 , a le plus grand coefficient .
12o. Développement de (.r — a)'”. — Si , dans la formule (i), on change a en — a, on obtient
12(î. Remanptes. — 1. Dans les formides (0 'd (^), f.iisons ,r a — \ \ lions aurons
Par conséquent,
i". Lu somme des roeffiirients du développement de ( x 4- <■')'“ égaler”-,
2°. Ixi somme des coefficients de rang pair est égale à la somme tics coefficients de rang impair [*).
II. Si 1 ’on représente par P la somme des nombres de combinaisons de m lettres prises en nombre pair, et par 1 la somme des nombres de combinaisons de ces m lettres prises en nombre impair, on aura, en se rappelant queO,,„, = i n’est pas un nombre de combinaisons,
127. Développement de (//4- b \/ — i )”*. — Les puissances suc-
(*) Le triai)(;le arilhmctiquc con<liiit aux uicnu'.s consé(|ucnccs.
{**) ('.CS «Icniicrcs valeurs donnent lieu à une remari|up assez curieuse : au jeu fie finir ou non, il y a avantage à parier pour impair.
sives do i «ont i, — i, — y/— i,+i; donc
(rt -f- b \J — I )”' = ^ a'"-' b\/ — 1
'1 ‘!LZl b- 1 %
De même.
m m — 1 m—im — 3
{a — b \> — 1 )”‘ = rt™ — — b [/— i
Par conséquent si l’on pose, pour abréger,
A = rt"' — C,„ , a"- ’ -h C„ , Z»‘ — . . . ,
on aura (« 4- è v^— i)” = A -f- B i,
128. Rcnitin/uc. — En multipliant membre à membre les deux dernières égalités , on obtient
de là, ce théorème d’arithmétique :
Les puissances successives d un nombre égal h la somme de deux carrés sont égales, cluwune, à la somme de deux carrés (p. 38).
Par exemple ,
exercices.
I. Quelle est l’expression du coefficient de x* dans le développement de ( I 4- 4- x’ 4- ... 4- j4*“‘ )'' ? En conclure le nombre
de manières de former une somme s, par le jet de p dés à m faces. (On admettra la formule du binôme pour le cas de l’exposant entier négatif. )
II. Quel bst le nombre des solutions entières positives de l’éiiuation
-+- ■■'’j -H -l- -»■» 4- -f .Cj = 37 ?
Réponse : 377 992.
ALÜÈURli.
