APPLICATIONS DE LA FORMULE DU BINOME

Ziimite de

129. Si, dans l’expression 4-^^ 5 on fait croître indéfiniment le nombre ni , la quantité 1 -H ^ diminue et tend vers l’unité. On ne peut donc, à priori , savoir si sa puissance m"""’ augmente ou diminue. Nous allons voir que cci/c puissance, c’est-à-

dire -H ^ ) a pour liniite le nombre inconnncnsitrablc c (101 ). En supposant d’abord ni entier positif, nous aurons, par la

(") La tctlrc S indique une somme.

;8 A1.(JK HKi:.

l'omuilc du binonio i!21),

ou

(, +jl)"= +... l

\ lit / I \ .‘X 1 . J> . i ' ,

Faisons "randir ni indéfmimeiU : les facteurs i — i — —, . . . ^ m m

tendront vers i; en même tein[»s, le (Icrnier tinnc coin er-

l'era vers zéro et s'éloignera indéfiniment du premier terme de l;i série; donc, en admettant pour un instant que

ons

lira(,+i)

lim

nous aurons

ou

ii„.(,+^y

130. L’égalité (7). que nous venons d’admettre pour ne pas scinder ta démonstration , e.vige quelques explications ; *-

1°. Si l’on suppose le nombre entier p assez petit, la fraction

aura évidemment pour limite zéro, et la limite du produit

1 — ) sera l’unité.

lit

7". Si le nombre /; est tres-grarul , mais roiisldiit , la fraction

Il - \

aura encore pour limite zéro. Fn eifet , on peut toujours

assigner une valeur de ni vériliaiit l'inégalité

^lL:zl

lit

VI, (i KUllh.

i . kt's tiU'UMirs 1 1 1 >••••, I - avaiil tous

m III III

l»uur limite l’unité , on j)Oiiri<iit admettre ([ue leur |tiudnil tend é.lialcmeni vers cctto limite, en vertu de ce [(rincipe : la limita (Pan jmidiiit est à^iile ait jiruiluit des limites des facteurs. Mais la démonstration sera pins satisfaisante et plus complète si nous résolvons le problème suivant :

Jssigucr une valeur de m qui vérifie C iiiéf^alité

tiaiis laquelle p est un numlire entier donné et y. une quantité donnée, positive et très-petite [*).

Il est facile de voir que l’on peut remi)lacer la condition [S) [>ar les iné;,:alités suivantes :

Si l’on connaissait une fraction s supérieure à 'y/ i — x, on j)Ourrait encore remplacer la dernière inégalité par

on st)rte que la question serait résolue. Or la formule du binôme donne

(*) Pour plus de régularité, ou a écrit/; au lieu de/; — i.

ALÜËBRE.

On peut donc prendre » = i ■ — ; et , par suite ,

Par exemple, pour rendre le produit des looo facteurs i —

ni

lOOO

plus grand que 0,999, oï' = 1000^.

Puisqu’on peut toujours assigner une valeur de m qui rende la différence entre l’unité et le produit .

inférieure à une quantité donnée quelconque, cc produit a jxiur limite Punité. C’est ce qu’il fallait démontrer.