Les termes du développement de ’ évidemment

inférieurs à ceux qui leur correspondent dans le développement de e, ont donc pour limites respectives cos derniers termes.

En admettant cette proposition, nous avons conclu, immédiatement,

La démonstration que nous avons employée pouvant donner lieu à quelques objections, nous la compléterons comme il suit.

Représentons parS^,^, la somme des^ -H i premiers termes de c, et par R le reste. De même , soit la somme des p -+- 1 premiers termes do ( i + — | > R' étant le reste. Nous aurons

puis, par la démonstration ci-dessus (129),

lim = S,,,.

Ces diverses relations donnent

— lim^if-^^ — R— lim R'.

ALGÈBRE. • 8i

Dan5 colle nouvelle égaillé , qui a son setootl membre indépendant de ni, faisons croître p. Le resle U diminuera indélinimenl, el il en sera de mémo, à plus forte raison, pour la quantité lim R', qui ne peut surpasser R. D’ailleurs, le premier membre est une constante; donc cette constante est nulle, etc. (*).

132. Dans ce qui précède, nous avons supposé m entier positif. Si ce nombre est fractionnaire positif, il sera compris entre deux entiers consécutifs « , « 4- 1 ; et l’on aura

ou

Mais,

lim

donc lim 1 1 4- — ) = e.

Enfin, si /« = — /«',• ni' étant positif, entier ou fractionnaire ,

(*) Théorème. — L’ègalilé \ — B = a — ji, dans laquelle A , R sont des constantes, et et., ji des variahles ayant pour limite tero, se décompose en A = B et a. = ji.

A LG 1- B K H.

Sommation des puissances semblables des termes d'une progression par différence.

IBB. Soient nombres en progression par différence: a, b, c,..., kj.

En désignant par ô la raison , on aura

//" z= (^/ | '-j- (iV ,j — - -n‘‘~' 'J- + . . .

,.;h • = (/; -4- rî)p^ ' = }>’• ' '-4- iU-L S + b^~ ' O-' + . . .

( / -4- ^ )p+> = /P. > + JL^ ip d + 11 /p-> S-+...

puis, en faisant la somme des seconds membres et ayant égard à quelques réductions,

{/+ S r' == P,»--' + /-i±^ rî -4- Il s^,, r? -4- . . . j