S/ÎP-4-//^p'-'. j
Dans cette relation générale, représente la somme des puissances ]) des termes de la progression. De même, S^, est la somme des puissances y.» ~ i de ces termes, etc. Il est évident que la formule donne S^, quand on connait S^,, , . . ., S,.
IBi. Considérons le cas ])articulier où les termes de la progression sont les nombres naturels i, 2, B,. . ., n. Alors la relation (1)
Ai.r.i: HUK.
se i ciluil a
Si l'on suppose successivement /> = t, a , 3 , 4 , fn trouve
fi(n 4- 0 (-2// 4- i) (3«’4- 3// — i) lo '
13o. Rf/mrqiirx. — I. La formule ( 3 ), (|ui donne la somme des /I premiers nombres entiers, est connue ]>ar les éléments d'algèbre lo7 ). .
II. Dans la formule (4). donne In smiwir des carnés des nombres naturels, le. troisième faeteur est è^al h la somme des deux
premiers.
III. La formule (5) nous apprend que la somme des cubes des n premiers nombres entiers est égale au carré de la somme de ces nombres.
Sommation des piles de boulets.
136. Pile à base carrée. — C('ttc pile a la forme d'une pyramide quadrangulairc régulière. La base de la pyramide , ou la première couche àe la pile, est formée par des boule Ls rangés en carré. Si n est le nombre des boulets formant le cété du carré, cette première
(*) Les c.alculs sc compliquent si rapidement, qu’il est déjà difficile de déterminer, par cette voie, la valeur de S,. Par d’autres considérations , on trouve la formule générale
I RC.
P J ''«ti.p ' I ''« ! i,p “*■ 7 ^«1 1. r-i • • •
dans laquelle , f-,, sont des coefficients qui suivent une loi
fort simple, {youi'cllcs Aitnalts ih; MathéninlUjiirs , juin iK.iô.)
84 ALUÈBHK.
couche contiendra «’ boulets. Il est facile de voir que les couches suivantes renferment (« — i)’ boulots, (« — a)’ boulets, etc. Enfin, le sommet de la pyramide est formé par un seul boulet. Conséquemment , le nombre des boulets contenus dans la pile est
« (rt -1- i) (art -}- i)
' -H ( rt — i)’ . -1- 9.’ -b i’ =
437. Pile triangulaire . — Sa forme est colle d’un tétraèdre régulier. Les couches successives sont des triangles équilatéraux dont les côtés renferment n boulets, « — i boulets , , . . , et enfin un seul boulet. Cela posé, le nombre des boulets contenus dans la première couche étant
, , ( rt -f- 1 ) «
rt-f-frt — i)-l-...4-a-|-i — ^ 1 ' ' I .a
le nombre des boulets de la pile sera
(rt-|-i)« , rt(rt — O 3.a a.i
or, d’apn»s le théorème du n“ 449 (5"),
438. Remarque. — On peut arriver à ce résultat au moyen des formules trouvées tout à l'heure (434). Remarquons d’abord que l’on peut écrire
le signe 'i désignant une somme, et i recevant les v'aleurs I , a, 3 . . . ( rt H- I ); D’un autre côté, jwur obtenir la somme de plusieurs ixdynômes, on peut ajouter les termes de meme degré, et réunir les sommes partielles ; donc
2 ^(rt-f-i)(rt-|-a)(art-f-3) (rt -H i)(rt 4- a)
ou, en réduisant,
rt(rt + i)(rt - a) G
Al.tiKBKK.
139. Pile à base rectangulaire. — Los couclu'S do colle pile, (}ui a la forme (P un comble à quatre pentes, sont formées par des boulets rangés en rectangle. Si /? et « -I- /.< sont les nombres des boulets contenus dans les côtés de la base , le nombre total des boulets qui la composent sera « (« +/j). La deuxième couclie renfermera ( « — I ) (« — I 4-/'') boulets ; et ainsi de suite. Enfin , la couche sera une simple fik contenant p 1 boulets.
Par conséquent ,
N = rt(/z 4-/j) -l-(« — i)(rt — 1 -l-/.») . .-1- I (i +/j)
= «’ + {« — if 4-. [« -t- {« — H- i],
ou enfin N = [in Zp 4- 1]-
l iO. Remarques. — I. Cette dernière formule résulte immédiatement de ce que la pile pnqxisèe est décomposable en une pile h base carrée et en un prisme triangulaire.
IL La méthode employée dans le n" 138 est applicable à beaucoup de cas. Proposons-nous, par exemple , de trouver la somme S des valeurs de la fonction i[i — i) (2 j -|- i), i devenant successivement I, 2, 3,. . n. Nous aurons
ou, par les formules ci-dessus (134),
/r(rt-i-i)’ «(« -I- i)(2« 4- 1) «(«-t-i)
OU encore
S = ^(« — i)«(« -1- i)(3rt 4- 4).
IIL En obser\'ant que
on aurait, plus rapidement.
■>- -1 etc.
AU'.i:H H H.
EXERCICES
I. (Jiiollo est la sunimo S des [iroduils ([ue l'on oblienl en multiplianl terme à lermc les deux progressions
rt, (I '1, « + U 0, . . . , r/ -1- ( « — 1)0,
c/', (l'-t- rî', a'+ 2 ô', , a'-{- (// — I ) O ?
II. A (pioi se réduit celte somme, lorsque les deux progressions sont
Rrponsi'
III. Trouver la somme des produits deux à deux et la somme des produits tn,is à trois des « premiers nombres naturels.
IV. Kn admettant la formule du binôme pour le cas il'un exposant (pielconquo, démontrer la série c.Tpt)neiUidlc
V. r.alculer, au moyen de cette série, la valeur de e % à moins de 0,01.
VI. A (pioi est égal le terme général ii^ de la série rérurre/Uc
dans laquelle
Réponse :
vil. Même question pour la série
dans laquelle
Réponse : — 3 . 7" '
ALGKBKIi.
