Si , dans l’équation à deux variables

on attribue à x un accroissement /<(*), y prendra un accroissement correspondant 4-, déterminé par

y+i=f{x-hk). (2)

La valeur de cet accroissement sera donc

Par suite, le rapport entre P accroissement àé la fonction et Èaccroissement de la variable aura pour expression ' înefn*»!?

(*) L’accroissement h peut être positif onJjÉ^tif : ordinairement, on le suppose positif. : - . X'Utifiïv.'r' v*

no ALGEBRE.

Cela posé, si h liiminue indéfiniment, il en st'ra de même pour X . Mais, comme à chaque instant le rapport ^ a une valeur déterminée, on conçoit que cette valeur tend vers une certaine limite, qu’elle atteint seulement lors<iue /i, et par suite A-, sont devenus égaux à zéro. Cette limite, qui dépend évidemment de la nature de la fonction /(.r), est dite la dérivée de cette fonction. Par conséquent.

On appelle dérivée (rune fonction la limite vers laquelle tend le rapport entre V accroisse ment de cette fonction et F accroissement de la variable, lorsque ce dernier accroissement tend vers zéro.

180. Remarque. — Si, dans l’équation (3), on suppose h = o, le second membre prend la forme Par suite, pour obtenir directement la dérivée d’une fonction , il faudra , dans la plupart des cas, mettre le rapport ^ sous une forme telle, que la limite

de ce rapport, c’est-à-dire la dérivée, ne semble plus indéterminée.

1 81 . Soit , par exemple ,

jr=f{x) =

on aura r b = (x -+- hf — i(.z -y- h) y,

fc __ i.r^h -1- 3.r/d -j- lé r— %h h~ h '»t

puis

Si l’on faisait tout de suite A = o, le numérateur s’annulerait en même temps que le dénominateur; mais, h étant facteur commun à tous les termes, on a

Actuellement, si A tend vers zéro, les termes 3xA et A’ diminuent indéfiniment, tandis que les autres sont Donc

lim ^ =/'(x) = 3x’ — 2.

Nov* venons de vérifier, dans un cas très-simple, V existence

ALGEBRE. iii

de la dérivée ; celte vérification a été faite sur toutes les fonctions que considère l’analyse.