Dérivée (P un produit de deux facteurs. — Soit

U et V étant des fonctions d’une variable indépendante .r. En opérant comme dans le numéro précédent, on trouve, successivement,

/-t-Aj= (h-+-Ah)((- + A(>),

A r = a A (’ + e A M 4- A M A (> , à y Sv Su Aw ^

uv' -i- vu' -I- lim

Le facteur ^ tend vers la quantité finie tandis que le facteur A e a pour limite zéro ; donc

et «p'-l- (>«'. (B)

Ce résultat s’énonce ainsi : D/ dérivée tPun produit de deux facteurs est égale au premier facteur multiplié par la dérivée

(’'} Cette relation exprime que \' accroissement d'une somme est égal à la somme des accroissements des parties , ce qui est assez évident.

ALGÈBRE. ii3

ilu second, plus au second facteur multiplié par la dérivée du premier.

187. Remarques. — I. Si l’un des deux facteurs est constant, c’est-à-dire si le produit est de la forme /= ae, on a simplement

II. En divisant membre à membre les égalités (B) et (i), on obtient

Par conséquent, le rapport entre la dérivée (P un produit et ce produit, est égal à la somme que Pon obtient en divisant la dérivée de chaque facteur par ce facteur.

188. Dérivée (Vun produit de plusieurs facteurs. — Nous commencerons par faire voir que si la dernière proposition est vraie pour le cas de « — i facteurs, elle subsiste dans celui de n facteurs : ce lemme étant démontré, la proposition sera générale, puisqu’elle a lieu dans le cas de deux facteurs.

Soit jr = W3... K,

ou r = P«„,

en posant P = u^.u,.u^. .

Par hypothèse,

d’ailleurs

donc

rt— I , .

h- — ; etc.

Actuellement, multiplions par r = //, les deux membres

de la dernière égalité, nous aurons

Ainsi, la dérivée <Pun produit est égale à la somme des résultats que Pon obtient en multipliant la dérivée de chaque facteur par le produit des autres facteurs.

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