IV. y/.r»+i + .r y/x^-.r

y/xM-T— X v^x’+l“l“-’^

^ (yV+l — x)’

ou , après quelques réductions ,

Dérivées des fonctions de fonctions.

19S. Soient y~ f[u) et k = F(x) : y est fonction d’une fonction de la variable indépendante x; et il s’agit d’exprimer la

(*) On arrive plus rapidement à ce résultat, si l’on coinniencc par mcllre l.a fonction j sous la forme

dérivée de y, relative à cette variable, au moyen des dérivées f'{u) et F' (a’), et sans qu’il soit nécessaire de remplacer u par sa valeur dans / ( «)•

Pour cela, donnons à x l’accroissement A x : y et u prendront des accroissements correspondants, A 7- et A u, et nous aurons

^x A« Ax ^

puis, en passant à la limite, et en désignant par y' la dérivée de y par rapport à x,

ou encore y' = /'(«).«'.

196. Si l’on avait >' = /(«),« = F(c) et e = 9(ar), on trouverait

y = fiu}:F'i,>}.y'{x);

et ainsi de suite. Donc , en général ,

Zfl dérivée d'une, fonction de fonctions est égale au produit des dérivées des fonctions qui la composent, chacune de ces dérivées étant prise par rapport a la variable dont la fonction dépend immédiatement .

197. Remarque. — La règle qui nous a donné la dérivée de m" (191) peut être regardée comme une application de ce théorème.

Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles.

198. Dérivée de log x. — La base du système de logarithmes étant quelconque , on aura successivement

y = log X, y 4- = log (x -I- A ),

h log ( X 4- /i ) — log X h~ Â

Si l’on supposait A = o,

le second membre deviendrait-» ainsi

(*) En général , A , B , C étant trois grandeurs de mémo espèce, le rapport de la première grandeur à la deuxième , multiplié par le rapport de la deuxième à la troisième, donne le rapport de la première à la troisième. (B., Àrith., 208.)

ii8

ALGEBRE.

qu’on pouvait s’y attendre (180). Pour faire cesser l’indétermination, on remplace ^ par ^5 n étant un nombre que l’on fera croître indéüniment, et l’on a, par les propriétés des logarithmes,

Lorsque «croît, ^end vers le nombre c (129). En

faisant attention que

lim log[^^i-t-^^^ J = log j^lim j (*),

on aura donc

lim^=7' = - loge;

ou, en désignant par M le module, égal à loge (157),

S’il s’agit des logarithmes népériens, M = i; donc la dérivée de

est

199. Rrnitm/ue. — D’après le théorème ci-dessus (195), la fonction de fonction jrz= lu a pour dérivée