COS
ou
209. Remarque. — Les dérivées des fonctions transcendantes arc sin.r, arc cos.r, arc tang jr sont algébriques ; la troisième fonction a même une dérivée rationnelle.
X>érivée8 des fonctions composées.
210. Soit J = F (h, c), u et vêtant des fonctions de la variable indépendante .r ; il s’agit, comme dans le cas d’une fonction de fonctions , d’obtenir la dérivée de y relative à a:, sans remplacer u et V par leurs valeurs <s{x) et
Donnons à x un accroissement Ax; mais, afin de mieux apercevoir la partie de la variation de j qui dépend de « et celle qui dépend de v, supposons, pour un instant, que u soit une constante, V étant variable : y deviendra F(m, v + Av); et nous aurons, pour son accroissement partiel, F(m, e y- F(«, <•).
En second lieu , dans F { « , v 4- A v), regardons v -|- Ac comme une constante, et faisons varier «; nous aurons, pour la valeur finale de /,
F(«-t-AM, v + Av) (**), et, pour le second accroissement partiel ,
F(m -t- A;<, V -1- Av) — F{«, v + Av).
(*) Nous engageons le lecteur à chercher, directement , les dérivées des fonctions a*, co&x, tangr, arc sin æ, arccosx, arc tangx.
(**) Il est assez visible qu’au lieu de substituer x-t- A x dans u etdans t' en môme temps, on peut faire cette substitution en deux fois. Par exemple, si J' = u -1- c, on obtiendra d’abord , en supposant u constante,
puis , en faisant varier « dans ce premier résultat, m-Au-+-v-t- Av.
Du reste, la somme de cos deux ^ccroissemenls partiels ou virtuels est égale à raccroissement total ou réel A > ; car
A r = F ( Zi 4- A </, o + Ao) — F (zz, e)
— [F(tt + Ak, c 4- Ao) — F(zz, V 4- A(’)J 4- [F(z/, »'4- Ac) — F(zz, o)].
Actuellement, d’après la remarque du
F(zz, o4-Ae) — F(zi, o) = [F^ (h, 0)4- jijAo,
F{z< 4- Azz, e 4- Ao) — F(zz, e 4- A(>) = [F^(zz, c 4- A«’) 4- a] Azz, F^(zz, c4- Ae) = F„(m, 0)4-7:
P, a et 7 sont des quantités qui s’annulent avec Ai<, et Ao; les indices désignent la lettre par rapport à laquelle on prend la dérivée.
Si l’on substitue dans (i), on obtient
'■) + 7 + 5‘]^« + [F;(zz, o)4-S]Ao,
puis
^=[o.(», 'O+v+^ill+rnf''.
puis, en passant à la limite.
f= Fl(«, <')•«'+ F; (zz, o). 0'.
Or, F), (zz, p) . zz' est la valeur qu’on trouverait pour r' si, supposant P constante, on appliquait la règle relative aux fonctions de fonctions (195) : c’est la dérivée partielle de r considérée comme une fonction de la fonction zz. De même F^ (zz, o).o' est la seconde dérivée partielle dej. Par conséquent, la dérivée complète d'une fonction composée est égale à la somme de ses dérivées partielles, obtenues en npplupianl le principe des fonctions de fonctions (*).
(*) Si, comme on le fait quelquefois, on réserve le nom de dérivées partielles aux fonctions F',(u,t<), F'(u,p), lesquelles, évidemment, sont les dérivées que l’on obtiendrait eu regardant u et p comme deux variables indépendantes , l’énoncé précédent doit être modifié ainsi :
La dérivée d'une fonction y, composée de plusieurs fonctions d’une variable indépendante x , est égale à la somme des dérivées partielles de y, respectivement multipliées par les dérivées de ces fonctions.
ALGEBRE. ia3
21 1 . Renmrcjiœ. — Les règles relatives à la dérivée d’une somme, d’un produit ou d’un quotient, sont, comme on j)ouvait s’y attendre, des conséquences du dernier théorème.
212. Applications. — I. r = iC . En supposant <> constante, j est une puissance dont la dérivée a pour valeur (191) vu'~'u'. De môme , si u était constante , la dérivée de {'exponentielle 11" serait (200) ic v' lu. La somme do ces deux dérivées partielles donne
y = viC ' u’ u' v' lu.
IL r = X*. Iji formule précédente devient, si l’on y fait u = e = x,
y — af [i -\r Ix).
