Dérivées successives d’un polynôme entier. — Soit

on aura

= ;« ( OT — 1 ) . . . 3 . 2 . 1 Ap ,

Ainsi , les m — i premières dérivées d’un polynôme entier, du degré m, sont des polynômes entiers, des degrés [m — i), [m — 2), . . . , I ; Uj dérivée m‘‘"" est une constante; et les dérivées suivantes sont nulles.

218. Dérivées successives de Le, (f, sinx, cosx. — Si l’on prend y = Ix, y z= e^, r = sin x , y = cos x ,

on aura ces valeurs simples et remarquables : r'= x“', y'=e^, j'=C08x, sinx.

j’ = — i.x~’, j'' = — sinx, y'= — cosx,

y"'—i.ix~^, y'”z=e’, — cos .r, j"'=sinx,

— I .2.3x~‘, = /”'=sin.r, j‘'’=cosx.

Dérivées successives des fonctions implicites.

219. Soit, pour fixer les idées, l’équation très-simple 1 ’ .i"’ — 3 x^ ' = O ; ( I )

on demande d’en déduire les valeurs des dérivées successives de p, comme si elle était résolue par rapport à y.