VJ
On aura d’abord (211)
Puis, en regardant i et/' comme des fonctions de .r, et en étendant la règle relative aux dérivées des fonctions composées ,
ou (/’ — x)y" -y — r’-j-x) = o. (3)
Dans cette nouvelle équation , /, /',)■" sont fonctions de donc, en appliquant encore la même règle ,
(>■’— (2/r'— i)/’’-!- a(r'’4- '^-yr’y" — J'“+ i) = o,
ou
(>■*— a:) j"'+ 3(2 rr'— i)r"-t- '2(v'’ -f- 1) = o. (4)
Et ainsi do suite. Au moyen de ces relations on obtiendra, successivement ,
, r— .r’ , 2 (.v’-h .3^—3 /)'-!-■ I ) .rr
— JC
(/’- ar)’
4 (2 f—i.î^j+x)xy— 2(/’— a:) [( K-.r’ ^ 220. Remarque. — Après que l’on a tiré, do l'équation (i),
on peut obtenir les valeurs des autres dérivées , en appliquant la règle relative aux fractions. En effet ,
Çr^ — x) {/— -ix) — (j — (ajr'— i)
(/-ar)’
etc. (**)
Théorème de Taylor.
221 . On donne ce nom à la formule suivante , qui permet de développer une fonction quelconque de x+ h, suivant les puis-
(*) A cause de l’équation (i).
(’'*) La géiicralisaüoii de la théorie dont nous vcnon.s de donner l’idee, ne peut être exposée commodément qu’au moyen du calcul dill'érentiel.
ALGÈBRE. ijt7
.sances entières et j«)silive.s de raccroissoment h ;
/(.rH-/0=/(x) + Y/'W+-^rW+Y^^^ (0
Dans le cas d’une fonction entière , le seul dont nous ayons à nous occuper ici , le second membre se termine par
m étant le degré de /(x) ; en effet, /'“(.r) est une constante (217 ).
Pour démontrer cette formule, remarquons d’abord que, si/(.r) se réduit à A, a::”', elle devient, après la suppression du facteur commun A,,
(x ->r hY' = x”‘ +- maf"'' m [m — 0 •
H ni[ni — i)... 3.2. i;
c’est-à-dire qu’elle ne diffère pas de la formule du binôme (121).
En second lieu , il est facile de voir que si le théorème de Taylor a été vérifié pour deux fonctions y(*') 6t ** subsistera pour
la fonction E(-c) formée par la somme de ces fonctions. Soient, en effet,
^(.rq-A) = .(.r) + ^?'(.r)-+-:j^f(.x-) + y^Ÿ'"(.r) + ...,(2) F(.r) = -+-4/ (.r). (4)
Ajoutant membre à membre les égalités (2) et (3 ), et ayant égard au théorème sur la dérivée d’une somme (185), on aura, à cause’ de l’équation (4),
Flx+A) = F(x)+^F'(a:) + ^F''(.r)4-^F"'(.r)H-....
Cela posé, la formule (i) est vraie dans le cas où f{x) se réduit ii A, .?" ou à .A, .r™"' ; donc elle subsiste pour le cas de
De même, étant démontrée pour ce dernier cas et pour celui do
128 ' ALGÈBUE.
/(.r) = A,a-’" elle le sera poiir/(3") = A„.r"‘+A, J.■™-'-4-A,Jr^^ Et ainsi de suite.
En résumé, si
/(.r) = A,.r” -4- A, + A,,r”'“’ + . . . + A„,,x + A„. , le développement de f{x + //) sera
222. Remarquen. — I. Si le polynôme /(x) a ses coefficients entiers, il en sera do même pour les fonctions
^ l ‘r-r— O ’ En effet, ces fonctions sont les coefficients
des puissances de h dans/(x -f- /().
flx) f'ix)
lE ‘ est la moitié de la dérivée do De même
