APPLICATION DES DÉRIVÉES A LA DISCUSSION DES FONCTIONS

22i. Théorème. — Une fonction est croissante ou décroissante, suivant que sa dérivée est positive ou négative.

Soit j = /(.r) une fonction continue de x. Cette fonction est dite ou décroissante, selon que l’accroissement der,

correspondant à un accroissement positif de x suffisamment petit, est positif ou négatif. En d’autres termes, si, pour toutes les valeurs de l'accroissement h inférieures à une limite donnée /, on a

la fonction proposée est croissante depuis x — a jusqu’à x = « :

elle serait décroissante si l’on avait constamment f[a + h) -f{a) <o.

Cela posé, le théorème résulte immédiatement de la relation A = h[f'(x) + .]

trouvée au n“ 182. En effet, pour des valeurs suffisamment petites de A, le signe de la quantité entre parenthèses est celui de /'(x); donc, etc.

225. Maximums et minimums. — Lorsqu’une fonction continue cesse de croître avec la variable pour décroître ensuite, on dit qu’elle atteint un maximum; de même, elle atteint un minimum quand elle cesse de décroître pour croître ensuite. Autrement dit, f{a') est un maximum ou un minimum de/(x), suivant que l’on a, pour des valeurs positives de h, suffisamment petites ,

ou f{n)<,f[a±:h).

Ordinairement , les Valeurs do x qui rendent /(x) maximum ou minimum, annulent /'{.r); et, en outre, /{«) est maximum ou minimum, suivant que/"(rt) est négative ou positive (*).

(*) Ces propositions sont démontrées dans la Gvowcirie analytique.

22<>. Le théorème qui précède facilite beaucoup la discussion des fonctions; c’est ce dont on pourra juger par les exemples suivants :