Étant donnée une fonction on peut se proposer de

trouver une fonction f[x] dont f(x) soit la dérivée, ou qui soit telle que l’on ait

Cette fonction inconnue f[x) est dite la fonction primitive de <}»{x), en sorte que le problème dont il s’agit peut encore s’énoncer ainsi : remonter de la dérivée a la fonction primitive (*).

228. Théorème. — Deux fonctions qui ont des dérivées égales, ne peuvent dijférer que par une constante.

Soient <p{x) et deux fonctions ayant même dérivée : la

différence <p {x) — aura une dérivée nulle. Par conséquent,

pour démontrer le théorème , il suffit de faire voir que toute fonction dont la dérivée est nulle , se réduit h une constante.

Soit/(x) cette fonction inconnue. Si elle ne se réduit pas à une constante , elle sera croissante ou décroissante dans un cer-

(*) Nous n'cxamincrons pas si co prol)lèinc, ordinaircmcnl très-difficile à résoudre, est toujours possible.

tain intervalle. Admettons, pour fixer les idées, qu’elle soit croissante depuis X — a jusqu’à j: = b.

Si,de/(.r), nous retranchons la quantité

qui devient /(«) pour x = a, elf{b) pour x = b {*), nous obtiendrons une fonction

dont la dérivée, à cause de /'(x) = o, se réduit à la quantité négative

fjb) -/(")

■ b — rt

F(.r) serait donc dccrvissante , au moins depuis x = a jusqu’à x=zb. ür cette conclusion est inadmissible, car F(rt) = o et F ( à ) = o. Donc , etc,

229. Il résulte, du théorème précédent, que si l’on a trouvé , par un pi-océdê quelconque , une fonction j{x) dont la dérivée soit toutes les fonctions jouissant de la même propriété seront données par la formule

G étant une constante arbitraire.

Recherche des fonctions primitives.

230. En renversant les règles do la dcrication, on peut, dans quelques cas très-simples , remonter d’une dérivée à la fonction primitive. Par exemple , comme les dérivées de

x", Ix, sin.r, cosx, arcsinx, arctangx, sont

nix"'-', -, cos.r, — sinx, , , — ; —

t*) Pour former cette fonction , il siitTit de prendre un hinOmc mx-t- n. dont les coefTicients satisfassent aux deux équniions

ma -t- n = f(n) , mb n —f{h).

AUiEBUE.

il s’ensuit que si l'on donne

r'=x”‘, [fl] (^) r' = <^. (<■) J''=eosx, {<1)

y^sinx, (e) j' = ^^==, (/) in)

on aura, pour les fonctions primitives les plus {générales,

y = y + (A) r=Lr + c, (B) j=<r*+t-, (E)

j=sinx + c, (D) J = — cosjr -f- f , (E)

> = arc sin a: -I- c , (F) j>' = arc tang x + c. (G)