SÉRIES LOGARITHMIQUES ET CIRCULAIRES
Séveloppement de /(i+x).
2lli. La fonction /(i 4--r) a pour dérivée
Effectuant la
division, on trouve
Donc, en remontant des dérivées aux fonctions primitives,
/{l+x) = X- — + j-j+...±-~qz^{x). (l)
Dans cette égalité, est une jonction inconnue qui s’an-
nule avec X, et qui a pour dérivée
jé'
(‘*) Ces notions seront complétées plus loin.
(**) I.a fonction p (x) est la différence entre /(i x) et le polynôme
jr' X**
X donc elle existe. En second lien , jj (o) /(i) =1 o.
ALGÈBRE. i39
Il est aisé de voir que si la variable .v est comprise entre o et -+-1, inclusivement, la valeur de 'j'(.ir) converge vers zéro quand n augmente. En effet , pour toutes les valeurs positives de x, on a
c'est-à-dire
D’après l’inégalité (2), la fonction est croissante (224); et, comme elle s’annule avec .r, on a
D’un autre côté, le premier membre de l'inégalité (3) est la
dérivée de f^[x) —
; donc cette dernière fonction est (lé-
croissante. Do plus, elle s’annule avec .r; donc, pour toutes les valeurs positives de x,
La fraction
croîtrait indéfiniment avec /?, si surpassait
l’unité; mais si, comme nous l’avons supposé, x est compris entre
O et -1- 1, - ^ a pour limite zéro. A cause des inégalités (4 ) et
(5), il en est donc de môme pour la fonction ?(or).
Par suite, le développement de /(14-x), en série convergente, est
/(i-^.r) = .r-- + ---^ + y-...±-qr.... (A)
235. Remarque. — La fonction »(.r) représente le reste de la série, ou l’erreur que l’on commet en s’arrêtant au terme — •
Rnlin ,
=F ./(X) = ^ - .r H- X’ . . . H: .r-') = qi - J- ;
donc la fonction y(x) a />oui dcrioce
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i4o ALGÈBRE.
D’après l’inégalilé (5), coite erreur est inférieure au premier des termes négligés: c’est ce qui a lieu pour toutes les séries convergentes composées de termes alternativement positifs et négatifs (99).
Développement de Z(i — x).
236. Une marche toute semblable à celle qui précède donne d’abord
•]/ ( ) étant une fonction qui a pour dérivée — — > et qui s’an-
nule avec a;.
En second lieu , si x varie de o à i — a, a étant une fraction aussi petite qu’on le veut, on aura
I — JC
JC"
OU
Par suite,
iJIH I
La variable x étant inférieure à l’unité, la fraction ,
diminue indéfiniment lorsque n augmente. Donc }(x) jouit de la même propriété; et, par conséquent, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et i — a, incliLsivemcnt ,
237. Les équations (A) et (B) peuvent servir à calculer les logarithmes népériens des nombres compris entre o et -i. Par exemple, si l’on suppose x = i dans (A), on obtient
(*) I.a formule (B) , obtenue en supposant x < i , subsiste pour x — i ; car cette dernière hypothèse rend infinis les deux membres.
ALGÈBRE. i4i
seulement, les; séries (A) et (B), même quand elles sont applicables, sont peu convergentes; et, d’un autre côté, il est essentiel d’obtenir des séries qui permettent de calculer les logaritlimes des nombres entiers. C’est à quoi l’on parvient par le procédé suivant.*
Calcul des lograrithines népériens.
238. Si l’on ajoute membre à membre les égalités (A) et (B), on obtient, à cause de
l’osons
nous aurons puis
ou
Cette nouvelle formule sert à calculer le logarithme népérien d’un nombre entier « 4- /?, quand on connaît déjà le logarithme de n. Si l’on suppose = i, elle se réduit à
L 2 rt 4- 1
3(2« 4- if
239. A cause de /. i =r o, la relation (D) donne, de proche en
proche, /.2, /.3, /.4
Par exemple,
2i0. Il est facile d’obtenir >ine limite supériiuire de l’entMir hl <jiie l’on commet en prenant .seulement les / premiers termes de
lii ALGÈBRE,
la série D. En effet, on a d’abord
et, par conséquent,
Ji+i
{■i.i -f- i)(2rt
