OU E

(2/ + l)(2rt + l)’‘+'

OU enfin,

2rt(2« + l)(2/ 4- l)(2/î -|-

Par exemple, si l’on se borne aux quatre premiers termes dans le développement de /. 2 indiqué ci-dessus, on commet une erreur

moindre que

Pour obtenir ce degré d’approximation au

moyen du premier développement (142), on devrait employer 78731 termes.

241. Problème. — Calculer directement le logarithme d^un nombre donné.

Si , dans la formule

on pose on aura

Par exemple ,

ALGKBRE.

Calcul du module.

24i. Le mothiUt M des logarithmes vulgaires a pour valeur t—

(136). Pour le calculer, il est donc essentiel de connaître le logarithme népérien de 10. Or, L 10 = /.a 4- /.5,

donc

ou encore

ire

/.lo = al" I 4-^-1-.^

En effectuant les calculs, on trouve

et, par suite,

Calcul des loB^arithmes vulgaires.

243. En multipliant par le module les deux membres de l’égalité (D), on obtient

lo«(” + .> = '»«'' + *“[îïïT7 + 3(î7rFÏÏ-'^'--}

Cette nouvelle formule est l’une des plus commodes dont on puisse faire usage pour construire une Table de logarithmes de Briggs, analogue à la Table de Gallet. La formation d’une pareille Table est bien plus rapide que celle d’une Table de logarithmes népériens. En effet, si l’on a calculé les logarithmes vulgairrs des nombres compris entre lo"*' et 10'’, on aura immédiatement les

i4i ALGÈBRE.

logarillimos de tous les nombres inférieurs à lo'’ En outre, la eonvert;ence de la série (E) augmente si rapidement avec n, qu’on peut souvent réduire cette série à son premier terme. Par exemple, si n surpasse loooo, on aura (240), à cause de aM < i, et en supposant f = i,

I aooooo. 10 000.20 001

ou, à plus forte raison,

244. Proportion logarUhnütjue. — On admet ordinairement que, passe une certaine limite, les diffèrenees entre les nombres sont sensiblement projmrtionnellcs aux dijférences entre les logarithmes de ces nombres {B., Alg., 199). Cette proposition résulte immédiatement de ce qui précède. En effet, si l’on réduit la série (E) à son premier terme, on a

log (« 4- 1) — log « = 2M — î- —

On aurait do même , en désignant par k uno fraction proprement dite,

log(rt -4 / ) — logn = 2M —

Par suite.

log(/i4-<^ ) — log« ^ a k log(rt -1- i) — log« ~ 2 «4-1

Mais le nombre n étant très-grand , la fraction égale à l’unité; donc, à fort peu près,

est presque

log(/i 4- ^ ) — log/? k log(// -M) — log// ~ T'