PRINCIPES SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Préliminaires .

248. Après la disparition des dénominateurs et des radicaux , toute équation algébrique, à une seule inconnue, pourra être réduite à la forme

A,.r'" 4 A, x“-' -4- Aj.r"'-’ 4-. . .+ A„, x + A,„ = o : m est un nombre entier ; A„ , A, , A, , . . . , A,„ sont des coefficients donnés , que nous supposerons réels ou de la forme a + / — i . Ordinairement, on divise tous les termes par le coefficient de.r"', ce qui revient à supposer A,= i. Pour abréger, nous représenterons dorénavant par /(x) = o l’équation ainsi simplifiée.

ALGÈBRE. i4y

2A9. Théorème fondamental. — Toute équation algébrique, /*(x) = O, à coefficients réels ou de la forme « + ^ y/— i, admet au moins une racine de cette forme ( * ).

250. Leaime. — reste de la division et un polynôme entier y*(.r), par un binôme .r — a, est égal à f [a) (H).

251 . Corollaire. — Suivant que a est ou n'est pas racine de y (.r ) = o , f [x] est ou n'est pas divisible par x — a,

252. Lemme. — Le premier membre cFune équation algébrique du degré m , dans laquelle le coefficient du premier terme est i , est égal au produit de m facteurs binômes, de la forme x — a , X — b^ X — c, . . X — 4', X — /.

Soit A,.r™“‘ -I- . .+ A,„ = O

cette équation. D’après le théorème fondamental , elle admet au moins une racine a. Appelant /(.r) le premier membre, nous aurons, parle corollaire précédent,

L'équation /, (x) = o, du degré m — i, a au moins une racine /;; donc

ffx) = {x-b)f,{x).

En continuant de la même manière , on arriverait évidemment é

et enfin à (x) = .r — /;

d’où, on remontant ou en multipliant membre à membre, y(.r)(— [x — a) [x — b){x — c) . . .(x — / ) (a: — /).

233. Théorème II. — Toute équation algébrique du degré m admet précisément m racines. En effet, le produit /(.r) s’annule si l’on donne à x une quelconque des valeurs a, b, c,..., /, /, et il ne s’annule pas si l’on donne à x toute autre valeur {**).