Remarque. — Si quelques-uns des facteurs æ— w

(*) Pour nous conformer h Vesprit du Programme, nous admettrons ce théorème, bien qu’il en existe un grand nombre de démonstrations. Les plus remarquables sont celles de Mourey, Gauss et Sturm.

(**) Pour qu'un produit de facteurs réels ou imaginaires soit nul, il faut et il suffit qu'un de ces facteurs soit nul (153).

i5o ALGËBUE.

,r — ,r — A, X — l sont égaux entre eux, on dit que l'é-

quation f[x) — O a des racines égales ou des racines multij/lcs. Par exemple, rérjuation

a trois racines égales à 1 , deux racines égales à — i , et quatre racines égales à 2.

255. Théorème III. — Toute équation algébrique , h coefficients réels, qui admet une racine imagi/unre a -h ^ ^ — i , admet aussi la racine conjuguée a — [î y/ — i .

Dans le polynôme f{x) remplaçons par a + ji — 1; nous aurons (221)

ou , en représentant par A et B des quantités réelles qui ne contiennent aucune puissance impaire de p ,

Si nous changeons ^ en — les quantités A et B né changeront pas; donc

/(a — fi y/— l) = A — Bf> V"'— (’- )

Cela posé, si a fi y/— i est une racine imaginaire de l’écpialion /(,r) = 0, on aura séparément, d'après la relation (i) ,

Par suite,

A — B^y/— ï = o, ou f[x — — i)=o.

256. Remarque. — Si /(x) avait des termes imaginaires, les fonctions désignées par A et B cessant d’ôtre réelles, l’ériuation /(a 4- y/— i) = O ne se décomposerait plus en A = o et B = o.

ALGÈBHE. .i5i

Par suite, le théorème ne subsisterait pas nécessairement {*).

257. Corollaire. — Les racines imaginaires (Cane équation algéhriqtu; à coefficients réels sont en nombre pair.

258. Théorème IV. — Le premier membre (Cane équation algébrique, a coefficients réels, est égal au produit (P autant de facteurs réels du premier degré que P équation a de racines réelles , et fP autant de facteurs réels du second degré qtPclle admet de couples de facteurs imaginaires.

Nous savons que a, b, c, ..., Â, l étant les racines de l’équation f(x) = O,

Si a et b sont deux racines imaginaires conjuguées , le produit {.c — a){x — b) prend la forme

on sorte qu’il se réduit à la quantité réelle (x — a)’-f- 6'; etc.

Composition des ooeilioients.