Théorème. — Dans toute équation de la forme

I® /c coefficient du deuxième terme est égal h la somme des racines, prise en signe contraire-, 2° le coefficient du troisième terme est égal à la somme de leurs produits deux a detuv, etc.; 3“ enfin, le dernier terme est égal au produit des racines, ou à ce. produit pris en signe contraire, suivant <ptc le degré m est pair ou impair.

a, b,c ,..., k ,l étant les racines , le produit

(x — rt) (.r — . .(x — X-) (x — /),

(") On aurait tort d'affirmer qu’une équation à coefficients imaginaires n’a pas de racines conjuguées : l'équation

jr‘-+-(a — \j — i)x*— 2(3 — V'— i)x-t-a(/| — v^— 1) = O

est vérifiée par x =; i ± — i.

(’*’*) Le coefficient du premier terme est toujours supposé égal à l'unité. Cette observation est faite une fois pour toutes.

i5a ALGÈBRE.

ordonné suivant les puissances décroissantes de i’, doit être identique avec le premier membre de l’équation. Or, si l’on désigne par S, la somme des racines, par S, la somme de leurs produits deux à deux, etc. , on a (120 )

[x — rt) (.r — b) . . . (,r — /■) (,r — l)

= .r- - S. .r»-' 4- S, .r”- - S, .r"'- + • . . + S,„, zh S,„ ; et, par suite,

A, = — S,, A,= S,, A3 = — S3,..., A„, = zfS„,,

260. Remarque. — Les relations précédentes, étant symttriqiu's par rapport aux différentes racines, ne peuvent pas servir à déterminer une de ces racines en particulier. En effet, si l’on pouvait conclure de ces relations une équation donnant a, cotte équation ne différerait, que par un changement de lettre, de l’équation qui donnerait i, de celle qui donnerait c, etc. Autrement dit, toutes ces équations seraient, sauf le changement de x en a, b, c, . . . , l’équation proposée. Un calcul très-simple conduit à la même conséquence. Prenons, pour fixer les idées,

a b c fl ~ — A,, ab ae ad -‘r bc -\- bd 4- fd = A^ ,

abc 4- ^l^d -t- acd 4- bed = — A. , nbed = A4

puis, afin d’éliminer b, c, d, ajoutons ces équations membre à membre après avoir multiplié les trois premières, respectivement, par — fl’, 4- fl’, — a; nous obtiendrons

— fl* = A, fl’ 4- Aj fl’ A, fl 4- A< ,

ou fl* — 1“ A, id -f- Aj fl’ 4“ Aj fl 4“ A, “ o.

Continuité de* fonctions entières.