Problème I. — Étant donné un jmlynômc

trouver une valeur positive de x à partir de laquelle le polynôme ait le signe de son premier terme, et croisse indéfiniment avec x (en valeur absolue).

ALGÈBRE. i53

Représentons par/(x) ce polynôme, et, pour plus de simplicité, supposons que le coefficient A„ soit positif; s’il était négatif, on appliquerait à [ — la solution suivante.

Cela posé , il peut se présenter deux cas : i“. Si f{jr) a tous ses termes positifs, chacun d’eux, à l’exception du dernier, croît indéfiniment avec x, à partir de æ- = o. Cette dernière valeur satisfait donc à la question.

2°. Si /(.r) a des coefficients négatifs, appelons — N le plus grand d'entre eux , en valeur absolue , et remplaçons tous les autres, le premier excepté, par — N. Nous aurons évidemment, pour toute valeur positive de x,

Par conséquent , dans l’énoncé du problème , nous pouvons remplacer le premier polynôme par le second.

Or, l’inégalité

AjX“ — + . .4-.r+ i) > O (i)

équivaut à A„.r“ — N — >0,

ou encore, à

On satisfait évidemment à cette nouvelle relation, en prenant

De plus, en mettant le premier membre de l’inégalité (i) sous la forme

on voit que ce premier membre croit indéfiniment avec .r, au

moins à partir de x = i 4- — • Celle dernière valeur résoul donc

le problème proposé.

2G2. Remarques. — I. Pour rendre le résultalde la subslitulion supérieur à un nombre donné P, il suffit de ren1plaoer/(x) par f(x) — P, ou — N par — (N 4- P). Par conséquent,

ALGEBRE.

Etant (lounà un polynôme A„.r"’+ A,.r’"‘'+. . .-h A,,„ on peut toujours trouver une valeur positive de ,v assez grande pour tpœ le résultat de la suhslltution surpasse, en valeur absolue, un nombre donné (piclconque .