II. Un polynôme A,x"‘-1- + -|-A^, de degré pair

prend le signe du coefficient de son premier terme, quand on attribue à la variable des valeurs suffisamment grandes, positives ou négatives. Mais si le polynôme est de degré impair, il prend le signe du coefficient de son premier terme ou un signe contraire, suivant que F on attribue à x une très-grande valeur positive ou une très-grande valeur négative (*).

263. En indiquant la solution précédente, nous voulions principalement faire voir qu’il est possible de satisfaire à l’inégalité /(x) > O par une valeur positive de x. La considération des dérivées permet de résoudre le problème d’une manière beaucoup plus satisfaisante. En effet, une fonction étant croissante quand sa dérivée est positive il s’ensuit que si Uon peut trouver une

valeur A de x qui rende f (x) positive, et à partir de laquelle la dérivée J '{x) reste positive, la fonction f{x) restera positive h partir de x = 1. De même, pour trouver une valeur de x à partir de laquelle la première dérivée reste positive, il suffit d’en chercher une à partir de laquelle la deuxième dérivée reste positive. Et ainsi do suite. En résumé, si un nombre \, substitué à x, rend positives f[x) et toutes scs dérivées, cette fonction restera positive à partir de x =

En outre, le polynôme f{x) croîtra indéfiniment avec x, à partir de cette mémo valeur.

En effet, remplaçons x par /-+-/<, h étant positif; nous aurons /(>■ + /O =/(>.) + +• . •+ A./r.

(’) Ce résultat s’énonce quelquefois par les formules suivantes, dans lesquelles J' représente le polynéme:

lO.

m pair^

jr = ± oc ,

m impair,

( X = -Hcc ,

-t-oo ,

m pair,

m impair,

i X =-+-oc , 1 r = — X ,

Il 1!

ALGÈBRE. i55

Or, dans le second membre , tous les coefficients sont positifs ; donc , etc.

Pour obtenir on part de/’"'‘(x), et on cherche le plus petit nombre entier qui rende positive cette fonction (* ). Si ce nombre, substitué dans/""' (x), donne un résultat négatif, on l’augmente d’une ou de plusieurs unités. On continue de la même manière, en remontant jusqu’à/(x). 11 est évident que Von n’a jamais besoin (te revenir sur les essais déjà tentés.