Problème IL — Étant donné un polynôme

trouver une valeur positive de x telle, que le résultat de la substitution ait le signe du premier terme, et soit, en Videur absolue , in férieur à un nombre donné lî.

En posant x = on devra satisfaire aux deux inogalilés

(*) On peut même prendre pour point de départ la première des dérivées qui présentent une seule variation.

i56 ALGKBHK.

ou, puisque z- est positif, à ces deux-ci:

-îs"-'’- (A„3"4- A. is"-' ^ . . . + A^) > o; ^4 )

c’est à quoi l’on parviendia , dans chaque cas particulier, en appliquant l’une ou l’autre des solutions du premier problème.

206. Applications. — 1. Trouver une valeur jMtsitive de x satisfaisant aux deux conditions

Les inégalités (3) et (4) deviennent

On satisfait à la relation {a) par z “ 3, et à la relation (i),

par z ~ 6. Par conséquent, pour résoudre la question j)roposée,

il suffit de prendre x ~ i-

II. Trouver une valeur négative de x qui, substituée dans le polynôme

— 2 .r‘ — 7 4- 1 2 JT® -I- 4 r’ — 24 .ï’*,

donne un résultat négatif inférieur, en valeur absolue, à 0,01.

Changeant jr en — x\ on devra satisfaire, par une valeur positive de x\ aux deux inégalités

— 2 x'*-l- 7j:'®-f- i2x'® — ^x'~ — ■x^x'*'y> — 0,01 ; ou , ce qui est équivalent , à ces deux-ci :

On a ensuite, eu remplaçant x' par

ALGfcBKK. In-

opérant comme dans l’exomple précédent, on trouve entin

267. Théorème. — Toute fonction entière et rationnelle iV une variable x est une fonction continue.

, Soit y — f[x) = A„.r"'+ A,æ'"'-‘ . .4- A„.

En premier lieu, à toute valeur réelle et finie à&x, correspond une valeur de j', réelle, finie et déterminée.

D'un autre côté, on peut toujours attribuer à x un accroissement h assez petit pour que l'accroissement correspondant k de y soit, en valeur absolue, inférieur à un nombre donné.

En effet,

/{■ = /'( .r ) h + lé + /iM- . . . + A„ A'".

Mais le second membre est une fonction entière de A, ordonnée suivant les puissances croissantes de cette variable; donc, etc.

268. Remarque. — Lorsque l’accroissement A sera suffisamment petit, k prendra le signe de f'[sc). Ce résultat est d’accord avec celui que l’on conclut de la théorie des dérivées (182).

Proposition* sur l'existence des racines réelles.

269. Lemme. — Si deux quantités a, p, substituées à x dans f{x), donnent des résidtats de signes contraires, l'équation f{ x) - O a au moins une racine réelle comprise entre a et p.

Soit, pour fi.\er les idées, a < ^. Si l’on imagine que x varie d’une manière continue, depuis a jusqu’à p, f{x) variera aussi d’une manière continue. Or, cette fonction était négative pour X — a. et positive pour x = p, ou inversement; donc elle a dû, au moins une fois, passer par zéro (*).

(”) On peut modifier un peu la démonstration, de manière à la rendre encore plus évidente. Supposons /3 >■ a ]> 0 : on ramène aisément les autres cas à celui-là. Supposons en outre, pour fixer les idées,y(a) «Co et /(/3)> o. Enfin , soient P l’ensemble des termes positifs et — N l’ensemble des termes necatifs de./(x), de manière que =■ P — N. Si l’on fait croître x d'une manière continue, depuis a jusqu’à les polynômes P et N, dont tous les ternies sont positifs, eroltroni d’une nia- 1. i/|

i70. Rnnaniuc. — La démonstration précédente repose uniquement sur la continuité de la fonction considérée. Par conséquent , la proposition subsiste pour toute équation /(x ) = o, algébrique ou transcendante, dont le premier membre reste continu entre a et p.

271. Théorème I. — Si deiur. quantités a, p comprennent entre elles un nombre impair de racines de V équation f(a^) = o, ces deux qiumtitcs, substituées à x dans f[x), donnent des résultats de signes contraires.

Soient a, b, c,..., g les racines comprises entre a et ^ ; soit 'f (.r) le produit des facteurs du premier degré correspondant aux autres racines (2S2); on aura

f{x) = {x — a){x — b)...{x — g)<^{x), puis /(a) = (a «)(a-^))...(a—

Les deux quantités »{a), (j/([5) ont le mémo signe, sans quoi l’équation <^(x) = o aurait au moins une racine comprise entre a et P { 269), el a, b, e,. g no seraient pas les seules racines de f[x) = O, comprises entre ces mêmes limites. D’un autre côté, les deux produits

[x — a)(ct.— b)...(a — g),

composés chacun d’un nombre impair de facteui-s, sont de signes contraires, car les facteurs du premier produit sont positifs, et les autres sont négatifs. Donc, etc.

272. Tméorè.me il — Si deux quantités a, ^ comprennent entre elles un nombre pair de racines de V équation f{x) = o, ou n’en

nièrc continue. Or, pour j- = a , P était moindre que N, et, pour x= g, P est devenu plus grand que N. Donc, pour une ou plusieurs valeurs de X, comprises entre a et /3, on a eu P = N, ou y(ar) = o. Après avoir fait ce raisonnement, Lagrange ajoute :« Comme deux mobiles qu’on suppose parcourir une même ligne dans le même sens, et qui, partant .à la fois de deux points différents, arrivent en même temps à deux autres points , mais de manière que celui qui était d’abord en arrière se trouve cn.suite plus avancé que Vautre , doivent nécessairement se rencontrer dans leur chemin. »

AI.ÜÈBRE. i59

aunprcnnent nucunc , ces deux (Hinntités , suhstiluci's a x danx f{x), donnent des résidtats île meme signe.

La démonstration est semblable à celle qui précède.

273. Théobéme 111 (réciproque des deux premiers). — i“. Si deux quantités a, ^ , substituées ii x dans f[x), donnent des résultats de. signes rontrnircs, ces deux ijuantilés eomprennent entre elles un nombre impair de racines de réquation f{x) = o;

t°. Si deux quantités a, p, substituées à x dans f[x), donnent lies résultats de meme signe, ces deux quantités ctnnprennent entre elles un nombre pair de racines de réquation f [x) ~ o, ou elles téen comprennent aucune.

274. Théorème IV. — Toute équation algébrique, de degré impair, a au moins une racine réelle, de signe contraire à son dernier terme.

Sfut d'abord l’équation

/(x) = x”-)-Bx"'' 4-...-|-S.r — T = o,

dans laquelle le dernier terme est négatif.

Si l’on donne à x la valeur zéro et une valeur positive À suflisamment grande, le résultat de la substitution , d’abord égal à — T, devient ensuite positif (262 ). Donc l’équation a au moins une racine comprise entre o et >.

Même démonstration dans le cas où le dernier terme est positif.

275. Théorème V. — Toute équation algébrique de degré pair, dont le dernier terme est négatif, a nu moins deux racines réelles. Tune jMsilive, F autre négative.

La démonstration est toute semblable à celle du théorème précédent.

276. Remarque. — Une équation de degré pair, dont le dernier terme est positif, peut avoir toutes ses racines imaginaires. Exemple : x' -|- i = o.

Théorème de Sescartes.

277. Lorsqu’une équation de la forme ordinaire a ses coefficients réels, on nomme vrt/7/rt/ort la succession de deux termes désignés contraires, et permanence la succession de deux termes de mémo signe. Par exemple , l’équation x^ + x' + 1 x' — 7 .?•’ — 3 r + i =: o présente tleux variations et trois permanences. Le théorème connu

iGo ALGÈBRE.

sous le nom <le Règle des sig/tes, de Descartes, consiste en ce que le nombre des variations est une limite supérieure du nombre des ravines positives. La démonstration de ce théorème résulte , trèssimplement, de la proposition suivante :

278. Lemme. — Quand on multiplie un polynôme entier, ordonné suivant les puissances déc/vissantcs d'une lettre x, par un binôme .T — a, a étant une quantité positive, le produit présente au moins gne variation de plus que le multiplicande.

Supposons que le premier terme du polynôme soit jf'. Ce terme commence un groupe de termes positifs, lequel est suivi d’un groupe de termes négatifs; celui-ci, à son tour, est suivi d’un groupe de termes positifs, etc. Enfin, le poljTiôme se termine par un groupe de termes tous positifs ou tous négatifs. D’ailleurs , chacun de ces groupes peut avoir un terme seulement.

Cela posé, la multiplication dont il s’agit peut être indiquée comme on le voit ci-dessous :

.r"'-' . . . - P'. . . . + Q . . . . - R'. . . . dt S'. . . . ± T'

. . - P"'. . . -f- Q'". . . R'". . . ± S'" zpTa.

1®.' Dans le multiplicande, la première série de termes négatifs commence par — P ; la deuxième série de termes positifs commence par + Q , etc. Une dernière série de termes, tous de même signe , commence par ± S et se termine par =h T : ce dernier terme est supposé indépendant de x.

2“.' La multiplicalion par a; donne des produits partiels de même signe que les multiplicandes correspondants. Parmi ces produits partiels, ceux qui proviennent de — P, -t-Q,..., ±S, ± T, sont désignés par — P', Q', • • • , ± S', ± T'.

3°. La quantité a étant supposée positive, la multiplication par — a donne des produits partiels de signes contraires aux multiplicandes. D’ailleurs, les degrés de ces produits sont respectivement inférieurs d’une unité aux degrés des premiers produits. Par conséquent, si le terme qui devrait précéder immédiatement ( — P ) ne man<jue />ns , ce terme, multiplié par — a, donnera un produit

ALGÈBRE. iGi

lifgatif (— P’ ), de mémo degré que {— P' ). Et ,v/ ce terme mamjite, (— P") sera remplacé par zéro. Semblablement, les termes qui devraient précéder (4-Q), ( — K),..., (±S), donneront des produits (-1-Q''), {—R"),..., (±S"). des mêmes degrés (jue ( + Q'), (-R'),..., (±S') : ces in-üduils pourront d’ailleurs, dans le cas d’un multi})licande inenmplet, être remplacés par zéro.

4". Il résulte, de cette discussion, que les termes du produit désignés par(— P'"), ( + Q'"), (—R'"),..., (±S"'), ont précisément les signes des termes ( — P ), ( 4- Q ) , ( — R ) , . . . , ( rfc S ) qui leur correspondent dans le multiplicande. Quant aux derniers termes de ces deux polynômes, ils ont évidemment des signes contraires.

5". Comparons actuellement le multiplicande et le produit : de •r” à ( — P), il y a une. seule variation, et il y en a au moins une de à (— P'"); de (—P) à ( + Q) , il y a une seule variation, et il y en a au moins une de ( — P"') à (-1-Q '), etc. Enfin, de ( ± S ) à ( ± T ) , il n’y a pus de variation, et il y en a au moins une de ( ± S"' ) à ( qr T « ).

G“. Le produit présente donc au moins une variation de plus que le multiplicande (*).

27t). Théorème de Descartes. — Dans toute ctptaüon complète ou incomplète , le nombre des racines positives ne surpasse pas le nombre des variations..

Soient «, h, c,..., ^ les racines positives d’une équation f{jc) = O. Représentons pas (x) le produit des facteurs correspondant aux racines négatives et aux racines imaginaires : nous aurons

D’après le lemme précédent, la multiplication par les facteurs successifs X — a, .X — b, . . . , x — g doit introduire, à chaque fois , au moins une variation : par conséquent, lors mémo (pie (p (.r) aurait tous ses termes positifs, le nombre des variations de f [x)

(*) La démonstration suppose que le groupe qui termine le multiplicande contient au moins deux ternies: si ce groupe se réduisait à un seul terme, on ferait T = o , et le produit serait terminé par ± Les

conclusions précédentes subsistent donc dans ce cas particulier.

ÏÙ2 ALGÈBUK.

n-rail fin moins égal nu nombre des raeines positives a, b, c, . . . , g. C’est ce qu’il fallait démontrer.

280. Corollaire. — Le nombre des rncines négatives d'une rrpuition f(.v) = o ne surpasse pas le nombre des variations de la transformée en ( — .r).

On appelle transformée en ( — .r ), l’équation que l’on obtient en changeant .r en (— .r) dans la proposée. Or, les racines positives de la transformée étant, abstraction faite du signe , égales aux racines négatives de la proposée, le nombre des variations que présente / ( — .t') ne peut pas surpasser le nombre de ces dernières racines.

281. Remnrtpie. — Le théorème de Descartes, appliqué à une équation incomplète, indique presque toujours l’existence d’un certain nombre de racines imaginaires (*). Soit, par exemple, l’équation

D’après le nombre des variations de f(x) et de/( — .r), on trouve que cette équation a au plus deux racines positives et une racine négative : elle a donc , au moins, six racines imaginaires.

282. Corollaire. — Quand une équation /(.r) = o a toutes ses racines réelles, le nombre p des racines positives est égal nu nombre v des variations , et le nombre n des rncines négatives est égal au nombre v' des variations de la transformée en ( — x).

On peut d’abord remarquer que la somme <■ + v' de ces deux nombres de variations ne surpasse pas le degré m de l’équation^ En effet, si l’équation est complète, c’est-à-dire si f{-r) renferir.O' m 1 termes , la somme du nombre des variations et du nombrodes permanences de / (.r ) est précisément égale à m ; mais, quand on change .r en ( — x ) , les variations deviennent des jH'rmnnences, et réciproquement: donc, dans ce cas, (>4-c'= m. D’un autre côté, si l’on supprime quelques termes de /(.r) les nombres e et v' pourront bien diminuer, mais ils n’augmenteront pas : donc, en général,

i’ + e'“w. (il

Supposons actuellement que toutes les racines soient réelles,

(*) Cependant une équation incomplète peut avoir toutes ses racines réelles : l’équation x’ — 7Jr-f-6 = o a pour racines -+- 1 , 2 , — 3.

auquel cas

ALGKBUK.

iG3

comparaison des relations (i) et (?.) donne

Or, P ne surpasse pas n ne surpasse pas e'; donc p ~ c, et n — r'. En outre , e + e' = m.

EXERCZCSS.

I. Dans toute équation complète , qui a toutes ses racines réelles, le carré d’un coefficient quelconque est plus grand que le produit des deux coefficients voisins (théorème de De Gim) (*).

II. Si trois termes consécutifs sont en progression par quotient, l’équation a des racines imaginaires.

III. Si les coefficients de quatre termes consécutifs sont en progression par différence , l’équation a des racines imaginaires ( théorème de M. Hermite).

IV. Soient X = o une équation donnée, et X', X",. . ., X^"'^ les dérivées successives du premier membre : la différence entre le nombre des variations de la suite X , X', X", . . . , X'"'^ pour a- = a, et le nombre des variations de la même suite pour .r = [3, n’est pas moindre que le nombre des racines réelles de l’équation comprises entre a et p (théorème de Fourier).

V. Si l’équation /(.r = o) a toutes ses racines réelles et inégales, l’équation obtenue en égalant à zéro la seconde dérivée de

V, '1 a toutes ses racines imaginaires.