RACINES

283. En général, transformer f [x] = o , c’est chercher une autre équation , F(.r) = o, dorti les racines aient, acec les racines

(’) Académie des Sciences , 174>.

)64 ALGKBUK.

(le la pm/xisée, une nlation donnée. Los questions suivantes éclairciront celte délinition (*).

284. PnoBl-KME I. — Multiplier, pur un nombre donné k , les racines d’une équation

Ici, la relation donnée est y — kx, ou .r — ’j- Remplaçant .r par

cette valeur dans la proposée, on obtient

On voit que les coefficients de la transformée sont égau.r à ceux de la proposée, multipliés par les puissances successives de k.

285. Problème II. — Transformer une érpiation (pd a des coefficients fractionnaires , en une autre dont les coefficients soient entiers , et dont le premier terme ait pour coeffiicient l’unité.

En chassant les dénominateurs, on mettra la proposée sous la forme (i), les coefficients A,, A,,..., A,„ étant entiers. Cela étant fait, l’équation (*2) sera la transformée cliorchée, si l’on peut disposer du nombre entier k de manière h rendre divisibles par A„ les produits A, 4 , A, k^, A., 4’, . . . , A^ /•■”.

Soit , par exemple ,

, t ... 1 <6 , q II

ou

Posant .t=j5 on obtient

Les fractions k» ^ étant irréductibles, les coefficients 4 3 8 24

de l’équation (2) seront entiers si les fractions 7) .7? — se

réduisent à des nombres entiers. On trouve aisément que la plus petite valeur admissible de 4 est 12. Par suite, la transformée de-

(*) On a vu ci-dessus (200) un cxem))le île transforinalion.

ALGEBRE.

mandée est

286. Problème III. — Diniimicr, d'une quantité donnée //, les racines d'une équation f [jt) = o.

Première solution. — De.^-= x — h, on conclut d’abord

puis, par le théorème de Taylor,

/(/,) +■! /'(/,) + + ■ . . + TTtrn;;/" ('-> = ”■ l'I

Telle est la transformée.

Seconde solution. — Divisons /(x) par x — h, puis le quotient par .T ~ h\ et ainsi de suite. Nous aurons

Q.= (•îp — ^0 +

dm-. = { -^ - ^0 0,„+ ;

les restes R, , Rj , . . . , R„ , et le dernier quotient 0„, ( * ). pendants de x. Pour éliminer Q, , Qj , . . • , Q,„, , multiplions la deuxième équation par x — A, la troisième par (.r — Ay, etc., puis ajoutons membre à membre; il vient

R, -i- R, ( .2- - /O + R3 ...-hK(x- Ar‘ + 0„, {x - A)'";

en sorte que la transformée, dont l’inconnue j) égale x — A, est

R. + R. J + Ra .:>■’ + • • • + R», + Q». /'■ = o- ( ^ )