Applications

1. a.r' — 7.r'' — 8.r^-|- 5x — i = o, h — 3. Les divisions successives donnent

La transformée est

— Il — a8 — 85 = R, ,

4 — i6 = Rj,

a/'^- 17 >^4- 37 ji"— i6j— 85 = O.

Comparant avec les formules ci-dessus , on a

•r = , jr' = ,r" — a , .r" = a i".

La première transformée est ( 284 )

On obtient la deuxième par les divisions suivantes , dans lesquelles le diviseur est .r'4- a :

I 4- ao — 102

Kilo est donc

Enfin, .i''= 2 J donne

289. Problème IV. — Faire disparaître le deuxième terme d’une iupuitioH x"‘ + A, + . . . = o , c’est-à-dire transformer cette éfpuition en une autre dont ta somme des racines soit nulle.

Posant J = X — /î, et désignant par é, c,. . . les racines de la proposée , on aura {« — - 4 ) 4- (i — A) + (c — = o ,

ou ( 2S9 ) — A, — mh — o.

On tire, de cette équation, h = — ~

Par suite r=-r-l-— ■

-Ainsi , pour faire disparaître le deuxième terme (P une è(piation, on augmente les racines d’une (piantité égale au coefficient de ee deuxième terme, dieisé par le degré de l’étpiation (*).

Iiimites des racines.

290. On appelle limites des raeines deux quantités entre lesquelles sont comprises toutes les racines réelles d’une équation f{x) = o.

291. Remarques. — i". Ordinairement, ces deux quantités sont de signes contraires ; mais si l'équation n’a pas de racines négatives, zéro est une limite inférieure. De même, si l’équation n’avait pas de racines positives, zéro serait une limite supérieure.

2“. Dans le cas général, si (— /') est une limite inférieure, (-!-/') sera une limite supérieure des racines de la transformée en (— x). Par conséquent, la question dont nous nous occupons peut être réduite à la recherche d’une limite supérieure des raeines.

(*) On .arrive au même n^ultat en rfmpla^nt x par y -^h dans les deux premiers termes de la proposée, et en développant suivant les puissances décroissantes de y. Ce second procédé peut servir bl faire disparaître uu terme de rang quelconque.

ifi8

3". / étant une liniilo supérieure des racines, toute quantité plus grande sera également limite supérieure (*).

4". Si le polynôme f{jc) reste positif à partir de j: = la quantité ^ est une limite supérieure des racines de l’équation f(.v) = O.

Cette dernière remarque sert de base aux méthodes suivantes :

292. 1™ MÉTHODE. — On obtient une limite supérieure des racines en ajoutant V unité au plus grand coefficient négatif, pris pnsiticement {**).

Représentons, comme dans le n“261, par ( — N) le plus grand coellicicnt négatif de l’équation f(æ) = o, et faisons croître jc indéfiniment , à partir de i + K : le polynôme f(-r) , positif pour cette valeur de .r, croîtra indéfiniment (261). Donc, etc.

293. Il' MÉTHODE. — On obtient une limite supérieure des racines en extrayant, du plus grand coefficient négatif pris positivement,

- une racine dont F indice égale C excès du degré de Céipintion sur -le degré du premier terme négatif, et en ajoutant P unité à cette racine.

Soit

— Px”-'' étant le premier terme négatif, et — N le plus grand coefficient négatif. Des raisonnements et des calculs analogues à ceux du n“ 261 donnent, successivement.

[(j — i) .rP — N] + N

(j:— i)' — N>o, rpf.

; LA limite supérieure des racines, mais icines.

(*) On ne doit donc p;

Lien : l'se limite supérieti

(**) Il est sous-entendu que le premier terme de l’équation a pour coefTicicnt riinilc.

al(;kbrk. i(k)

2D4. III' MÉTHODE. — On obtient une limite siiperieitee des racines en dceomimsant le premier membre de Péi/uation en jdusieurs jxiljnâmes présentant chacun au plus une variation, et en cherchant un nombre \ qui les rende tous positi fs.

Soient iji, (æ-), ••• diflércnts polynômes,

dont la somme est f{-r). Le polynôme Ÿi("f)> supposti ordonné suivant les puissances décroissantes de .r, présente une seule variation. Donc, par te tliéorème de Descartes, s’il est positif pour une valeur positive de x, il restera positif à partir de celle valeur; etc.

29Î). Reinarr/ue. — Quelquefois, la décomposition du premier membre peut être elTectuée de dilférentes manières, et alors on obtient diflérentes valeurs de >. Il est évident que l’on doit toujours choisir la plus petite.

Si, par exemple,

f{x) ~ .r' 4- .ir* — -L X — loooo , et que l’on prenne

<p,(.r) = .r'-f-.r* — .r^, Çj(.r) = .r — lOooo,.

on trouve ). = loooo. Mais, en groupant les termes ainsi :

( .r* .r' — .x* — I o ooo ) 4- .x ,

on peut prendre > = 7.

2h(>. IV' MÉTHODE (méthode de Newton). — On obtient une limite siqiérieurc des racines en cherchant un nombre À qui rende positives f[x] et ses dérivées.

En effet, le polynôme f{x) reste positif à partir de .r = ), (2G3).

297/ Application des méthodes précédentes. — Soit

f ( X ) = ü .r^ -i- 24 -x* — x^ 4- 8 — 1 0 x — Go. •