TiiÉonÈHE. — i°. Toute racine entière tt une équation

A,.r™-‘-|-Aj.r"‘-’-t-...+ A„= o (i)

h coefficients entiers , dicise :

Le dernier terme ,

Le coefficient de x augmenté du quotient de la première division , Le coefficient de augmenté du quotient de la deuxième division ,

Le coefficient de x"'~' augmenté du quotient de la [m — 1 division.

•x°. Ix quotient de cette dernière division est égal nu coefficient du premier terme , pris en signe contraire.

3". Tout nombre entier qui jouit des propriétés précédentes est racine de réquation.

Soit a une racine entière de l’équation (i ). En représentant par

le quotient du premier membre par .r — a , nous aurons (13)

A, = B, — B„rt, A,= B.J— B,rt,..., )

Ces diverses égalités, dans lesquelles B„, B, , B,, . . .,B„,, sont

i7'i ALGEBRE,

évidemment entiers, donnent

en sorte que les deux premières parties du théorème sont démontrées.

D’ailleurs, l’élimination de n, entre les équations (3) , conduit à

A,„ -I- A„,, « -I- rt’ 4- . . . 4- A, «”• ‘ -I- Aj ré" = O ;

donc tout nombre entier qui satis fait aux conditions énoncées est racine.

Recherche des racines entières.

299. La détermination des racines entières résulte immédiatement du théorème précédent. En effet, après avoir cherché une limite supérieure et une limite inférieure des racines (290), on formera tous les diviseurs du dernier terme de l’équation , compris entre ces deux limites , et ou rejettera successivement ceux de ces diviseurs qui ne satisfont pas à toutes les conditions indiquées ci-dessus : les diviseurs restants seront les racines entières cherchées (*).

Les exemples suivants montrent suffisamment la marche à suivre.

300. Applications. — I. Trouver les racines entières de réquation

On peut prendre pour limites — 7 et 4- 6. Les diviseurs de 3o, compris entre ces deux quantités sont, en excluant 4- 1 et — 1, 5, 3, 2, — 2, — 3, — 5, — 6. Le calcul se dispose ainsi :

(*) On ne soumet pas à ces essais les diviseurs -h i et — i: il est plus court, pour ceux-ci, d’employer la substitution directe.

ALGËBlUi. 173

Diviseurs.

Quotients.

Dividendes.

— Gy