CG
Quotients.
Dividi ndes.
Quotients.
Dividendes.
— lÜ
Quotients.
Les racines entières sont -4- 5 et — G. Le iiuolient de /(.»•) par + G est , d’après les équations ( 3 ) ( 208 ) ,
De plus , ce polynôme , divisé par x — 5 , donne 2 x’ -+■ 2 .r — i . Donc f(x) = (.r + G) (x — 5) (ax’+ 2x — 1).
IL Trouver les racines entières de TêqiuUion f{x) = x' — 4-^* — loi i4x’-|- 5o4x -I- 57G = O.
Les racines sont comprises entre —9 et +i3. En opérant comme dans l’exemple précédent ( * ) , on trouve que les racines entières sont — 8 et 4- 12. Par suite,
301. Remorques. — I. On voit, par le second exemple, que l’on i)eut avoir à essayer beaucoup de diviseurs. Pour diminuer le nombre des essais, on s’appuie sur la proposition suivante, qu’il est très-aisé de démontrer :
Si n est racine entière (P une équation f[æ) = o, « coefficients entiers, a — i divise f( ), et a i divise f{ — 1 ).
Dans le dernier exemple ,
/(i) = I — 4 — ioi4- 144- 5o4 + 57G = 990,
(*} Voir, h la page 17/1, le tableau des calculs.
{*) Voir l’explication à la page 173.
ALGEBRE
On
en
hi
CO
bS
CO
CO
LO
OJ
tO
CO
CO
lO
hS
to
on
CO
CO
bd
CO
bi
eo
to
CO
CO
bd
CO
to
cS
CO
to
en
*0 *sj
sr
Iteoherohe de> racines entières de l’équation
ALÜÈBRIÎ. 175
Le premier nombre n’admet aucun des diviseurs (—6 — 1), ( — 3 — 1), ( 8 — 1), (9 — i). Le second n’est divisible par aucune des quantités (— 4 + O1 (^ + 1), (3 + i), (4 + 1). Par conséquent, les seuls diviseurs à essayer sont — 8, — 2, -4- 6, -}- 12.
IL Quand on a reconnu que l'équation proposée admet une racine entière a, on doit examiner si cette racine est multiple, c’està-dire si l’équation admet plusieurs (2oi).Pour
cela, après avoir divisé /(.r) par x — a, on essaye si ce quotient est encore divisible par x — a\ et ainsi de suite.
Recherche des racines fractionnaires.
302. Théorème. — Toute c<iuation a coejfficieuts entiers, dans laquelle le coejficicnt du premier terme est V unité, n'a pas de rneines fraetionnaire.s.
Soit, s’il est possible , 7- une fraction irréductible qui vérifie
l’équation
td'' -t- Ai.r"'"’ + A„. = o, (1)
A,, A„...j A„ étant entiers. Remplaçant x par^i et multipliant tous les termes par p'""', nous aurons
E désignant un nombre entier. Or, cette égalité est impossible,
car-^ est une fraction irréductible {B., Arith., 93 et HI).
303. Au moyen de ce théorème , on ramène la recherche des racines fractionnaires à la recherche des racines entières. En effet, si l’équation /(x) = o n’a pas la forme (i), on peut toujours, en multipliant toutes ses racines par un nombre entier / , choisi convenablement , trouver une transformée F (j ) = o, dont le premier terme ait pour coefficient l’unité (285). Si à, r,... sont les racines entières de cette transformée , les racines de la proposée abc
seront j t ^ ^ 1 • • • 5
30i. Remarque. - On pourrait, do cette manière, trouver à la fois les racines entières et les racines fractionnaires de l’éiiuation
V7(i ALGÈBUIL
/(a. ) - O. Mais il vaut mieux débarrasser d'abord cette équation de ses racines entières ; le calcul de la transfoi mce en devient jdus simple.
30o. .^p/jUcotion,
r.etle é(iuation n’a pas de racines négatives. De pins, elle n’a pas de racines entières ; car la méthode de Newton donne i pour
limite supérieure. Changeant x en ^ 1 on trouve
Les valeurs de x étant plus petites que i, 21 est une limite supérieure des valeurs de j. 11 suflit donc d’essayer les diviseurs de 37 044 inférieurs à ce dernier nombre. Ces diviseurs sont :
On peut même rejeter 3, 7, 9, 12, 18; car cx's facteurs , diminués d’une unité, ne divisent pas F(i) = 273G5. Le calcul se réduit donc à ce qui suit ;
Les valeurs entières de j sont 6 et 14. Donc
On trouve ensuite
Al.GKBKK.
EXERCICES
1. Trouver les laeines commensurables des équation.s (j./;' — i()x’ -f- 28 . r’ — i8 .r + 4 = O,
8j:‘ — 38.r^ + 49-^’’ — 22X+ 3 = o, ü4-r' — 328. + 574 — 3ij3a: -1- 90 = o.
U. Résoudre complètement les équations .v'-’ — -2 x' — Gx’ + 4-*’^ + » 3x -1- 6 = O,
.r“ — 1 2 -f- 54 X* — io4x^ 4- 45 .r^ + io8x — 108 = o,
,2’* — i2x’-|-53x"— 92.2.“' — 9.r*4-2i2.r^— i53.r’— io8,r — 108=0, 21 X* — 83.r^ — 2 393.r'4-48o6x’ — 5 348x’-|-2 872X — 4^o =0.
III. Trouver les valeurs entières de x et de r qui vérifient les deux équations
.r‘ 4- r* q- 2X-J 4- "ixy = 946,
