CHAPITRE XIX

DES RAQNES CO.MaîUNES A DEUX ÉQUATIONS.

306. On sait que la résolution des équations du premier degré est fondée sur la proposition suivante : On peut remplacer le système (le deux tupuitions, par un autre système formé de Vune d’elles et de l’étpiation qu’on obtient en ajoutant membre h membre les proposées, après avoir multiplié l’une d’elles par un facteur constant ). [B., Alg., 6o). Ce principe, qui subsiste pour des équations de degrés quelconques, peut, étant convenablement modifié , s’appliquer à la recherche des racines communes à deux équations algébriques

F, (.r)=o, FJx) = o. (i)

En effet, si ces deux équations ont une racine commune «, celte racine appartient évidemment à l’équation F,{j') + /F,(.r) = O.

Réciproquement, toute racine commune aux deux équations ¥,{x) = o, F,(.r)-|-).F,(x) = O, (2)

est une racine de l’équation F, (j:) = o. Par conséquent, le système (2) équivaut au système (i).

307. Avant d’aller plus loin , remarquons que si les équations (i) admettent plusieurs racines communes <7, b, c,..., /, leurs premiers membres seront divisibles par le produit

des facteurs correspondant à ces racines, et qu’il en sera de même pour les premiers membres des équations {2). Si l’on convient d’appeler plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers q (.r), (.r ), le produit des facteurs du premier degré , de la forme

X — «, communs à ces deux polynômes, on voit que le plus grand commun diviseur des jx/lynômcs F,(.r) et F, (.r), est ég(d au plus grand commun diviseur des polynômes Fj(.r) et F, (.r)

308. Los conclusions précédentes subsisteront si l’on remplace

ÂLGÈBRF. 179

la constante i par une fonction de j:, pourvu que cette fonction ne devienne pas inûnie pour une valeur de x satisfaisant au système U) ou au système (a) ; en particulier, on pourra toujours prendre > égal à un polynôme entier. 11 y a plus : on peut choisir ce facteur de manière à rendre le second système plus simple que le premier.

En effet, en supposant le degré de F, (j?) égal ou supérieur au degré de F,(.r), divisons le premier polynôme par le second, de manière à obtenir un quotient entier Q et un reste Fj(.r), de degré moindre que le diviseur. A cause de

si nous prenons a = — Qi le système ( 2 ) se réduit à F,(^) = o, F,(.r) = o.

Conséquemment, les racines communes au.v équations F, (x) = o, F,(»=o, (i) sont tes memes que les racines communes aux équations Y\(x) = o, F,[x) = o, (a)

Fj (æt) étant le reste de la division de F", ( ^) par Fj (.r) ; ou, ce qui est équivalent ,

Le plus grand commun diviseur de deux ]>olf nomes est le meme que le plus grand commun diviseur entre V un d'eux et le reste de la division de l’autre par celui-ci.

309. Remarque. — Si F, (x) est exactement divisible par Fj(x), ce dernier polynôme est le plus grand commun diviseur. En môme temps, toutes les racines do l’équation F,(.r) = 0 appartiennent àF,{x) = o.

310. Les raisonnements précédents s’appliquent au système {2), puis à celui qu’on en déduirait comme le système (2) a été déduit de (i); et ainsi de suite. Donc, après avoir divisé F, (x) par Fj(^), on divise ce second polynôme par le reste Fj(.r), puis ce premier reste parle deuxieme, et ainsi de suite, jusqu ce qu on arrive a un reste F„( J?) qui divise exactement le reste précédent: ce dernier reste est le plus grand eommun diviseur des polynômes F, (x), Fj(x); et les racines de l’équation F„(x) — o sont les ^ racines communes aux équations F, (.r) = o, F, (.r) = o.

i«o AL(iÈBHE.