THÉORIE DES RACINES ÉGALES
Préliminaires.
31 i. Lemme. — Si une équation f{.v) — o réa pas de racines égales, le polynôme f{x) et sa dérà'ée f'{x) réont aucun facteur commun.
Soit
/(.r) = (.r — r/) (.r — b) (.r — r). . .(,r — h) {.t — l) , il’où (187)
Le binôme x — a divise les polynômes entiers — — 7 ? • • • j
mais ü ne divise pas
ce binôme n’est donc pas facteur def'(x). Le même raisonnement est applicable aux binômes ,r — b.,..r — c, ...,x — l; donc, etc. ’r
31b. Théorème. — Si une équation f{x) = o a des racines égales, le polynôme f[x) et sa déricée f [x] ont un plus grand commun diviseur formé du produit des facteurs correspondant aux racines égales, cluicun (Peux étant pris une fois de moins que dans f(x).
Pour fixer les idées, supposons que l’équation /{x) = o ait p racines égales à a, q racines égales à b, r racines égales à c, et un certain nombre de racines simples. En représentant par le
produit des facteurs correspondant à ces dernières racines, nous
(*) Si l'équation proposée n’a que des racines niuUiples, o(jr) sc réduit à ruiiité.
aurons
ALGKBRE.
/(.r) = (,t -rt|i'(.r- (,)
Par suite,
et
f[jc] X — a
y ' (x) = I) [■} ( .r ) 4- ( ,r - « ) (x - /. ) (,r - r ) ç,' ( ,r ) ], ( 3 ) en faisant , pour abréger,
D = (x — a f-' (x — by-' (x — c)'''*.
Gela posé, les polynômes /(x), /'(x) sont évidemment divisibles par D. De plus, le raisonnement employé ci-dessus (31 i)
fix) f'(x)
montre que les quotients ‘ — • — L — L sont prc/iiiers entre eux;
Donc /(x) et /'(x) ont, pour plus grand commun diviseur, le produit D.
3 IG. CüiiOLLAinE. — Pour qu'une êqiuition f(x) — o ait des racines égales, il faut et il suffit que les polynômes f [x) , f'(.r) aient un commun diviseur, ou, ce qui est équivalent, que cette équation et l'équation dérivée f (x) == o aient une ou plusieurs racines communes.
XLéduction d’une équation qui a des racines ég;ales.
317. Les explications précédentes montrent suffisamment comment on peut reconnaître qiCune équation f[x)— ou des racines égales. On peut aller plus loin et ramener la résolution de f{x) = oà la résolution d'autres équations donnant respectivement les racines simples , les racines doubles , les racines triples, . . . , de lu proposée , abstraction faite des degrés de multiplicité de CCS racines.
Représentons par X, le produit des facteurs correspondant aux racines simples, par X.^ le produit des facteurs correspondant aux racines doubles, par Xj le produit des facteurs correspondant aux racines trijiles, ..., chaque facteur étant jnis une seule fois.
i84 ALGÈBRE.
et, pour fixer les idées, supposons que la proposée n’ait aucune racine dont le degré de multiplicité surpasse 4» Nous aurons
SoitD le plus grand commun diviseur entre /(x) et /'(jt) : d’après le théorème ci-dessus, D = XjXjXj.
De même, le plus grand commun diviseur entre D et sa dérivée sera D, = X,X’.
De môme encore , le plus grand commun diviseur entre D, et sa dérivée sera D, = X,.
Dj ne contenant plus de facteurs multiples, le plus grand commun diviseur D^ , entre ce polynôme et sa dérivée , serait l’unité.
Divisons à présent /(x) par D, D par D, , etc. ; nous aurons
En troisième lieu , divisons Q par Qi ? Qi par Q, , etc. ; nous aurons enfin
Il est évident, actuellement, que les étpiations cherchées sont X| = O , X, = O , Xj = O , X, — O.
318. Remarques. — I. L’équation Q = o admet toutes les racines de la proposée , mais chacune d’elles une fois seulement.
IL A cause des longs calculs qu’exige la méthode des racines égales, on doit, avant de l’appliquer à une équation proposée, s’assurer que celle-ci n’admet aucune racine commensurable (*).
(*) On doit comprendre pourquoi , contrairement h l'ordre indiqué dans le Programme , nous avons placé la Recherche des racines com-
ALGÈBRE. i85
III. La remarque précédente et les théorèmes I et II indiqués cidessous , permettent d’affirmer qu’// est inutile d appliquer la méthode des racines égales aux équations des cinq premiers degrés.
