KÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ

Condition de réalité des racines.

320. En faisant disparaître le deuxième terme (289) d’une équation quelconque du troisième degré, aune seule inconnue et à coefficients réels, on la réduit à la forme •r’ 4- /«• -l- 7 = O , (i)

j) et 7 étant des quantités réelles.

Sans rendre l’équation (i) moins générale, on jKJut supposer son dernier terme positif. En effet, l’équation .r* -f- px —7 = 0 ( 2 )

a ses racines égales et de signes contraires aux racines de l’équation (i).

Cela posé, si le coefficient j) est positif, il résulte immédiatement, du théorème de Descartes, que l’équation (i) a une seule racine réelle, laquelle est né^ntice [*'). Par conséquent, pour que

(*) A c.Tiise de > e.

A LG K BU i:. 187

foUc mùinc équaüon (i) puisse tii’oir sos trois racines réelles, /) doit être négatif. Changeons donc p en — p', cl discutons l'ét (juation

.r—px + if — o, (3)

en Y supposant p > o , 7 > o.

Désignant par r le premier membre, et faisant varier x de o à X- \^p' (*), on voit que la fonction >•, égale à 7 pour ces valeurs extrêmes de .r, a un minimum déterminé par 3.r-^ — p' — o (225),

ou a- = -f- y/^. Suivant que ce minimum , égal à 7 — ^ p' y/yi

est positif, md ou négatif, l’équation (3) a deux rarines intaginnircs , ou deux racines positives égales, ou deux racines jmjsItices inégales {**).