En comparant les deux valeurs de v\ on a

puis, en prenant les dérivées,

Le premier membre est précisément la valeur de donc

• tv’ * v ’ >, * •*'*■«. * *> % **1*

iV — (12)

(*) La constdntc p est la même pour toutes les planètes, à cause de la troisième loi de Kepler : les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des demi grands axes des orbites,

i5o MÉCANIQUE.

Ainsi , F accélération varie en raison inverse du rayon vecteur. De plus, sa valeur étant négative, il s’ensuit qu 'elle est dirigée du mobile M vers le foyer F.

81. Remarque. — On peut conclure, de la formule (8), que vitesse varie en raison inverse de la distance comprise entre foyer et la tangente MT à la trajectoire. En effet , a étant l’angle FMT, on a (*)

tanga = ^4-,

c’est-à-dire tang a = ~ • ( 1 3 )

Éliminant r' entre cette relation et l’équation (8), on obtient

rsina

OU V=y (l4) (**)

82. Les équations (i3), (io) et (3) donnent, par un calcul facile,

Par conséquent, les valeurs absolues de l’accélération tangentielle et de l’accélération centripète sont

sina =

CO S a :

\J(âc 2 — ( a — r )* y/a 2 — (a — r )’

De cette dernière, jointe à la formule (i i), on conclut l’expression suivante pour le rayon du cercle osculateur de F ellipse :

ab

(*) La formule ordinaire est (D. D., 158) tang a = — , ; mais ici u = r,

-, * , 5 , ‘ * . r ' et dérivée de u par rapport à w, doit être remplacée par — •

(**, De chacune des formules (i i) ou f i ), il résulte que la vitesse décroît constamment, du périhélie A à Yaphelie A'.

(***) Quelques-uns des résultats auxquels nous venons de parvenir avaient été indiqués dans les Exercices de l 'Algèbre (Chap. XII).

MÉCANIQUE. i5i

EXERCICES

I. Une bielle, de longueur /, est articulée, à l’une de ses extrémités , avec une manivelle de rayon R, dont le mouvement est uniforme. La seconde extrémité de la bielle est articulée avec un axe fixe dont la direction passe par le centre de la manivelle. Quelles sont les circonstances du mouvement d’un point quelconque delà bielle?

II. Un point matériel décrit une hélice tracée sur un cône de révolution (*), dont l’axe est vertical. La projection du point, sur cet axe, se meut conformément à la loi de la chute des corps pesants (**). Quel est le mouvement du point?

III. Une circonférence roule sur une circonférence égale, supposée fixe , de telle sorte que leurs plans soient constamment perpendiculaires entre eux. Quel est le mouvement d’un point de la première circonférence (***).

IV. Un point matériel parcourt une ellipse , de manière que le rayon vecteur mené au centre de la courbe , a une vitesse angulaire constante. Quelles sont les circonstances du mouvement (****)?

V. Un point matériel décrit la spirale hyperbolique représentée

par r= Quelle est, en direction et en grandeur, l’accélé-

ration?

Réponse : L’accélération est dirigée vers le pôle; elle varie en raison inverse du cube du rayon .vecteur.

VI. Un point parcourt une circonférence pendant que celle-ci tourne autour d’un de ses diamètres, supposé fixe. La vitesse angulaire du point est égale à de la vitesse de rotation de la circonférence. Quelles sont les circonstances principales de ce mouvement (*****)?

(*) La projection de l 'hélice conique, sur un plan perpendiculaire i l’axe, est une spirale d’Archimède, représentée par uc=au. (Voyez page 103 , Exercices. ) *

(**) Voyez le Problème I.

(***) Voyez le Problème III.

(****) Cette question m’a été suggérée par l’enseigne du Cadran ovale, que l’on voit dans une rue de Paris.

(***■»*) y oyez page 102.

i5a MÉCANIQUE.

VIL Étant donnés un cercle et une droite BB' tangente, on fait mouvoir la droite de telle manière que le point de contact A parcoure le cercle d’un mouvement uniforme en 8 secondes , en même temps que la droite tourne autour du point A d’un mouvement uniforme en 4 secondes. Le point B' est à une distance de i mètre du point A. On demande quelle sera la vitesse du point B' au bout de 3 secondes. (Question proposée au concours d’admission à l’École Polytechnique, en i855.)