En faisant la distance OC égale, successivement, à
1 1 9 ram t 6 , iig"", 6.4, 1 1 9 mm , 6.9, x 1 9“™, 6 . 16,
on trouve que les temps employés à parcourir cette distance ï\ *■. 3\
Conséquemment , les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps (32).
128. Si, après avoir adopté une des valeurs précédentes pour OC, on prend CD double de OC, on reconnaît que le poids P', après avoir abandonné en C le poids additionnel p , vient rencontrer le curseur D au bout d’un temps égal à celui que le système P' 4 - p avait employé pour parcourir OC. Il suit de là que les vitesses acquises après
sont 1 >9 ou
1 1 9 mn, i 6.2.4
1 ig 1 "" 1 , 6.2.9
ï37 mm ,
2, 237 mn, ,2.2,
237 mm , 2.3,
H9 mm ,6.2.i6
Ces derniers nombres mettent en évidence la seconde loi qu’il
(*) Dans l’exemple choisi plus haut, la valeur de cette fraction est zs-
s’agissait de vérifier : les vitesses acquises sont proportionnelles aux temps. De plus, V accélération <v a pour valeur a37 mm , 1. Par suite, g — a37 mm ,2.4i = 9"“, 8076. Ce résultat diffère assez peu du véritable.
129 . La machine d’Atwood peut servir encore à démontrer une autre conséquence des lois de la pesanteur, conséquence sur laquelle nous reviendrons plus loin, et qui consiste en ce que : la hauteur à laquelle parvient un mobile lancé verticalement, de bas en haut, avec une vitesse initiale a, est précisément égale à la hauteur d’où il devrait tomber jxtur acquérir cette vitesse a (*). Voici comment se fait l’expérience :
Les poids ég ! .ux P, P' étant immobiles, on dispose, à égales distances des plans horizontaux passant par leurs faces supérieures, deux curseurs annulaires E, F; puis on applique deux poids additionnels égaux p, p\ l’un sur le curseur E, l’autre sur le poids P'. Le mouvement du système des trois poids P, P', p' est uniformément accéléré, jusqu’à ce que les faces supérieures des poids P, P' arrivent, l’une en E, l’autre en F. A cet instant, P est augmenté de p , et P' abandonne //; en sorte que le système primitif est remplacé par le système des poids P, Pf P'. La vitesse initiale de celui-ci est égale à la vitesse finale de l’autre; mais, comme le poids additionnel p agit de haut en bas , tandis que P se meut de bas en haut, le nouveau mouvement est retardé. Or, on reconnaît qu’il cesse quand la face supérieure du poids P est parvenue en C, c’est-à-dire quand le poids p s’est élevé à une hauteur égale à celle dont était descendu le poids p’.
430 . Remarque. — Comme, à la fin de cette expérience, le poids P remplace, en quelque sorte, le poids P', et vice versâ, il s’ensuit que si l’on abandonne l’appareil à lui-mème, il produira une série d’oscillations isochrones.
(*) Dans les Exercices du Chapitre IV, nous avoDS admis cette proposition.
i 7 4 mécanique.
Appareil à indications continues.
131. Pour rendre plus simple l’explication de cette machine, due, comme nous l’avons dit, à MM. Poncelet et Morin, remarquons d’abord que si une boule B, enduite d’encre, était lancée horizontalement le long d’un mur vertical ABC, elle tracerait sur ce mur, supposé peint en blanc, par exemple, une trajectoire parabolique BMD (106). L’abscisse BP et l’ordonnée PM de la position M occupée par la boule au bout du temps t , auraient pour valeurs
BP = at , PM
a étant la vitesse initiale du mobile.
Au lieu de lancer la boule dans la direction BP, avec une vitesse a, laissons-la tomber librement, mais remplaçons le mur par un plan vertical mobile, animé d’une vitesse égale et contraire à a : le mouvement relatif de la boule et du plan sera lo même que dans le premier cas (107, 3°), et la trajectoire apparente tracée par la boule sur le plan sera encore la parabole BMD.
Enfin, si nous substituons au plan mobile un cylindre vertical EFGH, tournant autour F v de son axe xy, de telle sorte que la vitesse de chacun des points de sa surface soit a , la trajectoire BMD décrite par la bille B tombant librement sous l’action de la pesanteur, aura pour transformée la parabole considérée tout à l’heure.
Dans l’appareil de MM. Morin et Poncelet , la bille est remplacée par un petit poids conique , portant un pinceau enduit d’encre. Le E cylindre tournant est recouvert d’un papier enroulé sur sa surface, et portant des lignes horizontales et des lignes verticales, équidistantes. Un mouvement d’horlogerie communique au cylindre une rotation uniforme. Enfin, un ressort
détermine simultanément la chute du poids et la rotation du cylindre. La transformée de la courbe tracée par le pinceau étant une parabole , il s’ensuit que les espaces parcourus suivant la verticale, par le poids conique, sont proportionnels aux carrés des temps. Cette loi est la seule qu’on puisse vérifier avec l’appareil dont nous venons de donner une idée.
132. Remarque. — L’appareil à indications continues peut servir à trouver la loi des espaces dans un mouvement rectiligne quelconque : si , par exemple, la trajectoire BMD était une hélice, il en résulterait que le pinceau a décrit uniformément la verticale BB'.
Problème* sur le mouvement des corps pesants (*).
133. Problème I. — Un projectile est lancé verticalement , de bas en haut, avec une vitesse initiale a. On demande : i° à quelle hauteur il parviendra ; après combien de temps il reviendra au point de départ.
La force qui sollicite le projectile est son poids ; elle agit en sens contraire de la vitesse initiale; le mouvement ascendant du projectile est donc uniformément retardé (101), et ses équations sont
v— a — gt, ( 1 ) x = at- l -gt\ (a)
Quand le mobile s’arrête, c = o; par conséquent, la hauteur h à laquelle il parvient est déterminée par les deux équations
o = a—gt, h = at - gt\
Elles donnent, par l’élimination de t,
On conclut, de cette valeur de h, a — \J ± g h , en sorte que la vitesse initiale a est égale à la vitesse duc à la hauteur h. Autrement dit, la hauteur à laquelle s’élève le projectile, en vertu de
(*) Les deux premiers ont été proposés dans les Exercices du Chapitre IV, comme exemples do mouvements rectilignes.
sa vitesse initiale a , est égale à la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir cette vitesse. C’est ce que nous avions déjà reconnu par l’emploi de la machine d’Atwood (129).
Le temps T que le mobile emploie à revenir au point de départ est le double du temps pendant lequel il s’élève ; par conséquent
134. Remarque. — La propriété que nous venons de démontrer peut être énoncée en termes plus généraux : un mobile sollicité seulement par la pesanteur reprend la meme vitesse quand il repasse au même point (*).
135. Problème II. — An secondes d'intervalle, et dans la même direction verticale, on a lancé deux projectiles dont la vitesse initiale commune est a. On demande le temps qu'emploiera le second projectile pour atteindre le premier.
D’après la remarque précédente , les deux projectiles , quand ils se rencontrent, ont des vitesses égales et contraires. Or, la vitesse
du premier est g celle du second est a — gt\ donc
d’où
136. Remarque. — Si n est plus grand que — > on trouve pour t
une valeur négative ; d’où l’on peut inférer que le problème est
2 Cl
impossible. En effet , — représente le temps T que le premier projectile emploie pour revenir à son point de départ (133); donc, pour que les mobiles .puissent se rencontrer, on doit supposer
. ia n <T
137. Problème III. — Quelles sont les circonstances principales
(*) Cette proposition est elle-même un cas particulier du théorème connu sous le nom de principe des forces taVej. [Voyet le Chapitre XI. )
du mouvement d’un projectile dont la vitesse initiale a fait un angle oc avec l’horizon P
i°. 0 étant la position initiale du projectile, soient 0 y la verticale passant par ce point, et 0.r l’horizontale menée, de ce mémo
point, dans le plan vertical TO/ passant par la direction OT de la vitesse initiale. Comme la seule force qui agit sur le projectile est la pesanteur, la trajectoire sera contenue dans le plan vertical xOy.
Cela posé, le mouvement effectif du mobile peut être décomposé en deux autres mouvements plus simples (104); l’un, parallèle à Oj, est dû seulement à la composante horizontale de la vitesse <7; l’autre, parallèle à Oj, ne diffère pas du mouvement d’un projectile lancé de bas en haut avec une vitesse «sina (133). Les équations de ces deux mouvements sont donc
x = atcosx, (1) y= rt/sinx — (2)
a°. La hauteur AC à laquelle s’élève le projectile est déterminée (133) par lu formule
, 1 (asina) 1 a 3
h — -- - = — sin’a. (3)
2 g ig
Pour interpréter plus aisément ce résultat , supposons que a soit la vitesse due à une certaine hauteur H, de manière que
H = — ; alors *g
A = Hsin’a. (4)
Comme sin’a est inférieur à l’unité, on voit que la hauteur du jet est toujours moindre ([ue la hauteur DUE à la vitesse initiale. Il n’y a d’exception que pour a = 90°, auquel cas
(- ‘ * / u tr
3°. La portéee du jet , c’est-à-dire la distance 013 à laquelle le
projectile va rencontrer de nouveau l’axe Ox, est la valeur de x qui correspond à y = o. Or, on tire de l’équation (a), pour cette valeur de y, en rejetant t — o,
2#sina / — *
par conséquent OB = — sina cos a,
ou OB = aHsinaa. (5)
On conclut, de cette valeur, que la portée est la plus grande possible , quand le projectile est lancé sous l’inclinaison de 45°; elle est alors égale à deux fois la hauteur qui correspond à la vitesse initiale, ou à quatre fois la hauteur à laquelle s’élève le projectile (*).
4°. On peut se proposer de chercher sous quelle inclinaison il faut lancer le projectile , afin qu’il atteigne un but D, dont les coordonnées x et / sont connues. Pour résoudre cette question , on doit éliminer t entre les équations (i), (a), et résoudre par rapport à a l’équation résultante. On obtient d’abord
y — x tanga —
aa’cos'a’
puis, en remplaçant a 1 par agH, et — ^ par i + tang’a :
x 2 tang’a — 4IIxtanga-f-4 Hj+x 3 = o. (6)
Celte équation donne
tanga = - [ail ±/4 H 1 — 4 H J — x 2 ]. (7)
Quand les coordonnées x et jdu point D satisfont à l’inégalité 4H î >4Hj+x% (8)
les deux valeurs de tanga sont réelles et inégales; par conséquent: pour une meme vitesse initiale du projectile , il existe en général
(') A cause de
A = H sin* 45° = — H.
MÉCANIQUE. i 79
deux directions de cette vitesse qui permettent d'atteindre un but donné.
Ces deux directions se réduisent à une seule, déterminée par
* a H tanga = -—)
quand 4 II 3 = 4 Hj+ar I . (9)
Enfin, si les coordonnées x, y et la hauteur H satisfont à la relation
4 H 3 < 4 Hr ■+ x 7 , (10)
il est impossible que le projectile passe par le point donné D.
5 °. L’équation (G), qui est celle de la trajectoire du projectile, représente une parabole OAB ayant AC pour axe et A pour sommet. Si , dans cette équation , on fait varier l’angle a , on obtiendra
une infinité de paraboles OAB, OA'B', OA''B'', dont l 'enveloppe sera une autre parabole EFG, représentée par l’équation (9). Si le but D est inférieur à cette dernière courbe , le projectile pourra évidemment l’atteindre, soit en décrivant la parabole OAB , soit en décrivant la parabole ODA'. Quand le but est sur l’enveloppe, en I par exemple, il n’existe qu’une seule direction suivant laquelle on puisse lancer le projectile. Enfin, quand le but est extérieur à EFG, le projectile ne peut plus l’atteindre. Ces dernières circonstances sont exprimées algébriquement par les relations (8), (9), (10).
6 U . Entre les équations (1), (2), éliminons l’angle a; l’équation
que nous obtenons , représente une circonférence que le projectile rencontre au bout du temps t, quel (pic soit l'angle de p/v-
i8o MÉCANIQUE.
jection. Cette circonférence a pour centre le lieu qu’occuperait le projectile, s’il était tombé sans vitesse initiale. Déplus, elle rencontre l’axe 0.r au point où se trouverait le mobile, s’il avait été lancé horizontalement; ce qui devait être (*).
7 °. Les composantes horizontale et verticale de la vitesse v ont pour valeurs :
x' — a cos oc, r'=flsina — gt; donc e J = oi 3 cos J a-t-(«sina — g-r) 5 . ( 12 )
D’après la forme du second membre : la vitesse commence par décroître; elle devient minimum quand le projectile passe au sommet de la parabole qu'il décrit ; elle croît ensuite; enfin, le mobile frappe le sol avec une vitesse égale à sa vitesse initiale.
8°. Le projectile étant sollicité seulement par son poids , X accélération totale w (65) est égale à g, en valeur absolue.
9 0 . Quant à X accélération tangentielle et à X accélération centripète, leurs expressions n’ont rien de remarquable.
138. Problème Y. — Sachant que F attraction exercée par une sphère, sur un point extérieur, est la meme que si la masse de la sphère était concentrée en son centre , on demande de calculer :
i°. Le rapport des poids d'une même masse, à la surface de Jupiter et à la surface de la terre;
2 °. La valeur de la gravité , à la surface de Jupiter;
3°. La longueur du pendule qui battrait les secondes sur cette planète.
i°. D’après la loi de la gravitation universelle, les attractions exercées sur une molécule m , par deux points matériels A, B, sont proportionnelles aux masses M, M' de ces deux points, et inversement proportionnelles aux carrés des distances /«A, /«B. Il résulte de là , et de la propriété indiquée dans l’énoncé, que si une même masse m était transportée, successivement, sur la terre et sur Jupiter, les poids p , p' accusés par un dynamomètre auquel cette masse serait suspendue (93), satisferaient à la relation
(*) On peut encore remarquer qua toutes les circonférences représentées par l'équation (i i) sont tangentes à ta parabole (9).
r, r' étant les rayons de là terre et de Jupiter.
M io 5 o ’ r' 11 , 225 ’
° nC p ~ 1 o 5 o (il, 225 )*
Effectuant par logarithmes , on trouve
Ainsi , un poids d’un kilogramme , transporté de la terre sur Jupiter, tendrait le dynamomètre jusqu’au point correspondant à 2 682®, 8.
2 0 . Les poids p , p' sont entre eux comme les accélérations correspondantes g, g' (*)■ Par conséquent, la gravité à la surface de Jupiter a pour expression :
ou , à cause de g = g" 1 , 808 96,
3 °. Les longueurs /, V de deux pendules qui battraient les secondes à Paris et sur Jupiter, sont proportionnelles à g et g 1 (**).
Donc /'= /.2 ,6828;
et comme l = o m , 993 855 ,
(*) Parce que m = - =
(**) En vertu de la formule de Galilée :
fl
formule qui sera démontrée plus loin.
(***) Le lecteur s’étonnera peut-être que le rapport — ne soit pas plus
grand, mais il lui suffira de faire attention que, si la masse de Jupiter était égale à celle de la terre, l’attraction, à la surface de la première 11. , it>
