CHAPITRE X

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DES FORCES APPLIQUÉES A UN MÊME POINT MATÉRIEL.

Parallélogramme des forces.

139. On a vu (104) que deux forces F, F', constantes en grandeur et en direction , appliquées à un point matériel m en repos , lui impriment un mouvement rectiligne uniformément accéléré, résultant des deux mouvements uniformément accélérés dus aux deux forces prises isolément.

D’un aulre côté , si un point matériel m est animé d’un mouvement rectiligne uniformément varié, il est soumis à faction d’une force constante R (102).

Il résulte évidemment, de l’ensemble de ces deux propositions, que deux forces constantes F, F', appliquées à un point matériel m, peuvent être remplacées par une force unique R.

On donne , à cette force R , le nom de résultante des deux forces F, F': celles-ci sont les composantes de R.

En général , on appelle résultante de plusieurs forces F, F', F", F",..., une force unique produisant le même effet que F, F', F’,

F ut

140. Remarque. — Des forces données n’ont pas toujours une résultante unique. Par exemple , deux j'orces F, F', non dirigées dans un même plan, n’ont pas de résultante (*).

planète, serait 128 fois moindre qu’à la surface de la seconde. Au lieu de supposer la masse m transportée, successivement, sur la terre et sur Jupiter, on pourrait considérer un corps également distant des deux centres d’attraction; et alors on trouverait

p 1 oào

(*) Nous engageons le lecteur à chercher la démonstration de cette proposition.

141. Revenons au cas de deux forces constantes F, F' appliquées à un point matériel m. La relation entre les composantes et la résultante est exprimée par le théorèmo suivant, connu sous le nom de Parallélogramme des forces :

La résultante R de deux forces F, F' appliquées à un point materiel m, est représentée , en grandeur et en direction, par la diagonale mC du parallélogramme construit sur les droites m A, a» B, qui représentent, en grandeur et en direction, les deux composantes.

Soit ma l’accélération du mouvement uniformément varié qui

serait produit par la force F si elle agissait seule. Semblablement, soit mb l’accélération du mouvement dû à la force F' agissant seule : la diagonale me du parallélogramme macb représentera l’accélération w du mouvement résultant, dû à la force inconnue R. De plus, la direction de w est précisément celle de R (88).

Remarquons à présent que, d’après un théorème démontré (Hl),

ma mb me ’ '

et, en vertu de l’hypothèse,

On conclut, de ces deux suites de rapports égaux,

ma mb m A — m B ’

ainsi, les deux parallélogrammes macb, /«ACB sont semblables, et les points m, c, C sont en ligne droite. Par suite, la diagonale m G représente , en direction, la résultante R.

Elle la représente aussi en grandeur. En effet, la similitude des deux parallélogrammes donne

ma mb me

mk w» B mC'

d’où , à cause de la suite ( i),

Mais, mÀ, /«B représentent les intensités des forces F, F'; donc il en est de même pour m C, relativement à la résultante R.

142. Remarquas. — I. La démonstration précédente suppose le point m en repos; mais la proposition est générale; car r effet des forces F, F', R est indépendant de t état de repos ou de mouvement du point ( 97 ).

II. Une force variable pouvant toujours être supposée constante pendant un certain temps, pourvu que ce temps soit suffisamment petit, le théorème subsiste pour des forces quelconques.

143. Autres relations entre la résultante et les deux -composantes. — Soient F, F ' deux forces appliquées à un point matériel m ; soit R leur résultante :

i°. Chacune des trois forces est proportionnelle au sinus de l’angle formé par les directions des deux autres;

i°. Les distances MG, MH d’un point M de la résultante aux deux composantes, sont en raison inverse des intensités de ces composantes.

En effet:

i°. Le triangle »/BC donne

BC m B /«C

sinB/wC ~ sin /n CB — sin m BC ’

ou , en remplaçant les côtés par les forces auxquelles ils sont proportionnels ,

sin (F', R) " sin (F, R)“sïn(F, F')'

2 °. Les triangles rectangles MG/n, MH m donnent

MG (sin F, R)

MH "(sin F', R)’

MÉCANIQUE. i85

ou , en vertu de la proportion précédente ,