MG F

MH ~ F *

144. Remarque. — La recherche de la résultante R des deux forces F, F' équivaut à la résolution du parallélogramme m ACB , ou simplement à la résolution du triangle /nBC, dans lequel on connaît deux côtés et l’angle compris. Ce triangle donne

mC =mB-|-BC — amB.BCcos/wBC;

ou, en remplaçant les lignes par les forces qu’elles représentent, et en faisant attention que /nBC est le supplément de B/n :

R J = F* 4- F' 1 + 2 FF' cos (F, F'), (i)

La résultante étant ainsi déterminée en grandeur (*), on la déterminera , en direction , par les proportions

sin(F', R) sin(F, R)r'sin(F, F')’ W

Si les composantes F, F' sont rectangulaires, les relations (i) et (2) se simplifient; elles donnent

F = Rcos(F, R), F'=Rcos(F', R). (4)

145. Le théorème du Parallélogramme des forces donne lieu aux corollaires suivants, analogues à ceux que nous avons déduits du Parallélogramme des vitesses et du Parallélogramme des accélérations:

I. — La résultante (P un nombre quelconque de forces appliquées à un même point est représentée , en grandeur et en direction , par le dernier côté d’un polygone fermé dont les autres côtés

(*) La formule (1) donne pour R deux valeurs égales et de signes contraires; mais on doit adopter seulement la valeur positive, attendu que l’intensité d’une force, c’est-à-dire son rapport à l'unité de force, ne peut pas être négatif. Quand on affecte une force du double signe =fc, on a égard, tout à la fois, à la grandeur de cette force et aux deux sens opposés dans lesquels elle peut agir. Ici il n’y a pas d’ambiguïté : la résultante R agit de m vers C.

sont égaux et parallèles à ceux qui représentent les composantes, en grandeur et en direction.

H. La résultante de trois forces appliquées à un même point, et non situées dans un même plan, est représentée , en grandeur et en direction, par la diagonale du parallélipipède construit sur les droites qui représentent les composantes, en grandeur et en direction.

III. Etant donnée une force R, on peut toujours , d’une infinité de manières, la décomposer en cF autres forces dont les directions passent par le point d'application de la première (*).

IV. La résultante de plusieurs forces appliquées à un même point , et dirigée suivant une même droite, est égale à la somme algébrique des composantes.

V. Si, dans les équations du n° 50 , on remplace les vitesses <\,

v n , par des forces F,, F,, . . ., F„ appliquées à un même point, on obtient les formules suivantes, qui déterminent, en grandeur et en direction , la résultante R de ces forces :

Rcos«= ZFcosa, Rcosè = SFcosp, Rcosc = 2Fcosv,

R 3 = (vFcosa) 5 4-(sFcos(3) 5 + (2Fcos7)\

Conditions de l’équilibre d’un point matériel.

146. Avant de chercher les conditions de F équilibre de plusieurs forces appliquées à un point matériel, nous rappellerons quelques propositions :

i°. On dit que des forces se font équilibre, quand elles se neutralisent réciproquement , de manière h ne pas modifier l état de repos ou de mouvement du corps quelles sollicitent ( 90 ) ;

a°. Pour que deux forces, appliquées h un point matériel entièrement libre (**), se fassent équilibre, il faut et il suffit quelles soient égales et directement opposées (96);

(*) Cet énoncé est soumis à deux restrictions : i 0 Si les directions données sont dans un même plan , dans lequel ne soit pas située la force R , la décomposition est impossible ; 2° si les directions données se réduisent à deux, situées dans un même plan avec la force R, la décomposition est possible , mais d’une seule manière.

("*) Un corps est dit entièrement libre dans l'espace, quand rien ne s’oppose au mouvement que tendent à lui imprimer les forces qui lui

3°. Plusieurs forces F, F', F", . . . , appliquées à un point matériel m, se réduisent, en général, à une force unique R représentée, en grandeur cl en direction , par le dernier côté d’un polygone fermé dont les autres côtés sont égaux et parallèles aux droites qui représentent les composantes, en grandeur et en direction (145).