Remarques. — I. La composante F' a pour valeur F cos a

(144). D’un autre côté, si l’on abaisse m'p perpendiculaire à m C, on aura , pour valeur du chemin estime suivant la direction de la force, e' = ecosa. Conséquemment, le travail de F est susceptible des trois formes suivantes :

GF = F'c, S F = Fc cos a, SF = Fc'.

II. La deuxième formule conduit à cette définition, qui comprend les deux premières : le travail d’une force constante , agissant sur un point qui se meut en ligne droite , est le produit de la force par le chemin parcouru , et par le cosinus de C angle que fait la direction de la force avec celle du chemin.

III. Les facteurs F, c étant supposés positifs, le produit Fccosa est positif ou négatif suivant que l’angle a est aigu ou obtus. Dans le premier cas, la force F accélère le mouvement; dans le second , elle le ralentit.

IV. Si l’angle a est droit, cosa = o, et gF = o; ce qui doit être (156).

458. Le travail est dit moteur ou résistant, suivant que la force tend à augmenter ou à diminuer la vitesse. Ainsi , quand un corps a été lancé verticalement de bas en haut , le travail de la pesanteur est résistant pendant que le corps s’élève; il devient moteur dès que le corps descend. Les raisons do ces dénominations sont évidentes.

459. Remarque. — Le travail est moteur ou résistant , suivant qu’il est positif ou négatif.

160. Travail élémentaire d’une force quelconque. — Soit à présent une force quelconque F, agissant sur un point dont la trajectoire est ABC. Soient /«, m' deux positions de ce point, assez rapprochées pour que le petit arc mm' puisse être regardé comme confondu avec sa corde , et que la force F ait pu être supposée constante, en grandeur et en direction, pendant le temps employé à décrire mm'. On appellera travail élémentaire de la force F, conformément à la définition précédente (157, II), le produit de la force F par l’élément de chemin, et par le cosinus de l’angle que fait la direction de la force avec celle de l’élément ; ou encore:

Le travail élémentaire d’une force est le produit de l'élément de chemin par la projection de la force sur cet élément (*).

161. Travail total. — La somme des travaux élémentaires d’une force variable F, ou plutôt la limite vers laquelle tend cette

somme quand l’élément s diminue jusqu’à zéro, est ce qu’on appelle travail total de cette force. Ainsi, en supposant que le point matériel se soit transporté de m en M dans le temps 9, de manière à occuper successivement les positions /«, m’, m on aura, en appelant F, F', F",..., les intensités correspondantes de la force, et «, a",. • les angles F mm', F'm'm ",. .

EF = lim(F« cos a FV COSa'-(- FV COSa"+. . .), ou EF = lim2Fs cosa.

Évaluation du travail total.

162. Une force constamment perpendiculaire à l’élément de chemin parcouru par son point d’application ne produit aucun travail.

En effet, cosa = o, cosa' = o, etc. (**).

(*) Cette considération du travail élémentaire d’une force, due à un savant géomètre, nous semble manquer de netteté. En effet, à quel moment le petit arc mm' peut-il être supposé confondu avec sa corde? On répondra, sans doute: quand l’arc est infiniment petit. Nous ne pouvons discuter ici la valeur de cette solution.

(**) Il semblerait, d’après cela , qu’un manoeuvre chargé d’un fardeau et marchant sur un terrain horizontal n’aurait droit à aucun salaire; ce qui serait évidemment absurde. D’un autre côté, la plupart des praticiens évaluent à 97 kilogrammètres par seconde le travail produit par un homme marchant sur un terrain horizontal sans fardeau. Voici comment un illustre géomètre explique ce paradoxe et cette contradiction : « Quand un homme transporte son propre poids, que j’appellerai II, à une hauteur verticale h au-dessus de son point de départ , la quantité de travail produit est lift. . . ; mais cette quantité donnerait une idée trèsimparfaite des efforts musculaires qui ont été faits cl de la force que cet homme a développée. Il serait difficile d’en obtenir une mesure exacte, 1

MÉCANIQUE. i 9 3

163. Si la force F est constante , et qu’elle soit dirigée , à chaque instant, suivant la tangente à la trajectoire AB,

G F = F lim 2s = F.v :

le travail total est égal , dans ce cas , au produit de la force pat le chemin, absolument comme si le mouvement était rectiligne.

164. Lorsque la force est constante, en grandeur et en ciirec-

on peut seulement faire voir qu 'elle doit surpasser, souvent de beaucoup, la quantité précédente , qui serait nulle si la hauteur h était zéro , quoique, certainement , il y ait une quantité de travail mécanique correspondante à la marche d’un homme sur un plan horizontal,

» Dans cette marche, je suppose que l’homme ait d'abord le pied gauche en avant du pied droit; son centre de gravité est alors abaissé, au-dessous de sa position naturelle, d’une quantité que je désignerai par s. En s’appuyant sur son pied gauche et s’aidant du frottement de ce pied contre le sol , l’homme ramène son pied droit au niveau du pied gauche, puis le pied droit devance le pied gauche et va se poser sur le sol ; ce qui fait un pas entier, composé de deux parties. Or, dans la première partie, l’homme soulève son centre de gravité de la hauteur 1, et produit par là une quantité de travail égale à n s ; il imprime, au même instant, à ce point une vitesse horizontale, que je désignerai par a , à la fin du premier demi-pas; ce qui répond à une autre quantité de travail lia, en appelant « la hauteur due à la vitesse a.

» ... Je supposerai aussi que le second demi-pas a lieu en vertu de la vitesse acquise à la fin du premier et du poids du corps qui retombe sur le sol, de manière que, pendant le second demi-pas, l’homme n’exerce plus aucun effort, et que les vitesses verticale et horizontale, dont son centre de gravité se trouve encore animé à la fin du pas entier, soient détruites par le choc et le frottement de son pied droit contre le sol. Dans cette hypothèse, la quantité de travail de l’homme pendant le pas entier sera ... Il ( t -+- a ).

» Il suit de là que, dans un nombre n de pas égaux, la quantité de travail d’un homme ou d’un animal, portant un fardeau et marchant sur une route horizontale, aura pour valeur nK(e -h a), en désignant par K son poids n , augmenté de celui du fardeau. Si le poids total a été élevé verticalement à une hauteur h au-dessus du point de départ, il faudra ajouter K h à la quantité rK(j + a). » (Poisson, Traité de Mécanique. )

Sans altérer le sens, nous avons modifié le texte en quelques points, afin d’abréger.

tion , le travail total est égal au produit de la force par la pro- •ection du chemin , faite sur la direction de la force .

En effet, G F = F limSs cosa = FlPP'= FA'D'.

165. En particulier, le travail de la pesanteur est égal au poids du mobile, par la hauteur verticale dont il est descendu ou monté.

166. Dans le cas général, l’évaluation du travail total dépend d’une quadrature ( D . D., 342). En effet, si l’on porte, sur un axe, les petites cordes s, s', s",..., les unes à la suite des autres; que, par les points ainsi déterminés, on élève des ordonnées égales, respectivement, à F cos a, F' cos a', F" cos a",...; et que l’on fasse passer une courbe par les extrémités de ces droites : l’aire de cette courbe représentera le travail cherché. Les formules approximatives de quadratures {*) peuvent aussi être employées avec avantage.

Travail de la résultante de plusieurs forces.

467. Théorème. — Le travail élémentaire de la résultante de plusieurs forces appliquées à un point matériel, est égal à la somme des travaux des composantes.

Pour composer des forces F, F', F",..., en nombrequelconque, appliquées à un point > matériel, on peut chercher la résultante r de F et de F', ‘ puis la résultante r' de r et de F"; et ainsi de suite. D’après cela , il suffit de démontrer la proposition dans le

(*) Voyez Y Appendice à ia fin.

MÉCANIQUE. ig5

cas de deux forces F, F', représentées par les côtés m A, m B du parallélogramme wACB.

Soit XY la droite que décrit , au moins pendant un temps trèscourt, le point d’application m : cette droite n’est pas nécessairement dans le plan du parallélogramme. Si nous abaissons sur XY les perpendiculaires AA', BB', CC', nous aurons, pour les travaux élémentaires de F, de F', et de la résultante R :

mm'.mCJ, nwi'.m A', mm'. mW.

Il s’agit donc de vérifier l’égalité

mm'. mC = mm', m mm' . mW, ou seulement celle-ci :

mC = mX'+mW.

Or la projection m C' de la résultante est égale à la somme des projections m A', mW des composantes ; donc le théorème est démontré.

168. Le travail total d’une force pouvant être regardé comme la somme de ses travaux élémentaires, le théorème précédent s’étend évidemment au travail total de plusieurs forces, appliquées à un point matériel. Ainsi : le travail total de la résultante est égal à la somme des travaux des composantes.

Unités de travail. — Effort moyen.

169. Kilogrammètre. — La relation entre la force F, l’espace e et le travail T est, dans le cas le plus simple,

Si l’on prend F = i , e = i , on aura T = x . Or, l’unité de force est le kilogramme, l’unité d’espace est le mètre; par conséquent, le travail pris pour unité est celui qui est nécessaire pour élever i kilogramme à i mètre de hauteur. Cette unité est appelée kilogrammètre. On la représente par i km . Quand une force de 60 kilogrammes fait parcourir 3 m , 5 à son point d’application, le travail de cette force est égal à ( 6 o. 3,5) kilogrammètres = 2 io km .

170. Cheval-vapeur. — Le travail d’une force, tel qu’il vient d’être défini, est indépendant du temps pendant lequel agit la force. Dans les applications, il n’est plus permis de faire abstrac-

196 mécanique.

tion de cet élément; au contraire, plus le temps pendant lequel le travail aura été produit sera court, plus le moteur employé devra être payé. On prend ordinairement, pour unité de puissance dynamique y un travail de 75 km effectué en i seconde. Cette unité, pour une raison qu’il n’est pas nécessaire d’indiquer ici , est ce qu’on appelle cheval-vapeur.

Si une machine a élevé 24°° kilogrammes à une hauteur de 3 o mètres en 48 secondes, elle a produit, pendant ce temps, un travail de (2400.30) kilogrammètres. Son travail serait donc, en 2400.30

une seconde, kilogrammètres = 1 5 oo km . Conséquemment,

cette machine équivaut à = 20 chevaux-vapeur. C’est ce

qu’on exprime ordinairement en disant que la machine a un e force de 20 chevaux (*).

En général , si un moteur est capable d’élever, en n secondes , un poids de P kilogrammes à une hauteur de h mètres, la force, ou plutôt la puissance dynamique de ce moteur, évaluée en chevaux-vapeur, sera