Remarque. — Un cheval-vapeur équivaut à peu près à
5,5 chevaux effectifs; c’est-à-dire quï/ faudrait environ 55 chevaux pour élever, en 1 seconde, un poids de j5o kilogrammes à 1 mètre de hauteur. r
172 . Effort moyen. — Il arrive souvent que la force variable F reste comprise entre des limites peu éloignées. Dans ce cas, on y substitue, pour plus de commodité, une force fictive constante <p, capable de produire le même travail. Cette force f, dont la direction est supposée tangente à la trajectoire du point matériel , est appelée effort moyen. Il est aisé de justifier cette dénomination. En effet, si l’on suppose aussi que la force F agisse tangentiellement à la trajectoire, on aura
GF = lim2Fs, G<p = <plim2e;
(*) Le mot force n’a plus ici sa signification habituelle ; pour éviter toute ambiguïté, on devrait dire : une machine de la puissance dynamique de ao chevaux-vapeur .
et , puisque les travaux sont égaux ,
lim 2 F s (p ~ lira 2 s ’
donc la force y est une moyenne entre les forces F (20).
173. Remarque. — L’effort moyen ? est représenté, graphiquement, par la hauteur du rectangle équivalent à l’aire qui mesure le travail total (166), et qui a pour base la base de cette aire. ,
Relation entre le travail et la force vive.
174. Les géomètres du siècle dernier ont donné le nom de force vive d’un mobile au produit mv 2 de sa masse par le carré de sa vitesse; Il existe , entre le travail développé par la force F qui agit sur le mobile, et la force vive dont ce mobile est animé à l’instant considéré , une relation remarquable , que l’on peut énoncer ainsi :
Lorsqu'une force agit sur un point matériel , la demi-variation de force vive du mobile, entre deux positions quelconques, est égale au travail de la force entre ces deux positions.
175. Pour démontrer ce théorème , supposons d’abord que le point matériel soit sollicité seulement par son poids p, et qu’il tombe librement suivant la verticale.
En désignant par <> 0 , v les vitesses dont il est animé après avoir parcouru les espaces h 0 , h, nous aurons (33)
v 2 - v]= ig[h — h t ), ou ^m(v 2 — v]) = mg[h — AJ.
Mais mg est le poids du mobile (112); h — h„ est l’espace compris entre les deux positions considérées ; et le travail de la pesanteur, entre les époques correspondantes , a pour valeur p[h— /«,) (155); etc. .
176. Plus généralement, considérons un point matériel sollicité par une force constante F, dirigée suivant la trajectoire rectiligne. Soient <’ 0 , v les vitesses du mobile , au bout des temps t a , t; c l’espace décrit pendant le temps t — t n \ w l’accélération du mouve-
ig8 MÉCANIQUE.
ment. Nous aurons, en appelant a la vitesse initiale,
— a + wt, v 0 =a + (Vt t ,
donc
puis
ou
i m (*>’ — v] J = mwe = F e,
- m [t? — pJ ) = Ç.F.
177. Soit enfin un point matériel décrivant une trajectoire quelconque AB, sous l’influence d’une .v force variable F. Remplaçons la
courbe AB par une trajectoire polygonale , dont MN = c représente un * 5 -— B élément quelconque. Nommons F 0 ,
F„ F 2 , . . , , F„ les valeurs de F qui répondent aux sommets consécutifs de ce polygone. Soient » 0 , v n . . . , <> n les valeurs correspondantes de la
vitesse c, etc. Si les forces
