FF F

restaient constantes, en grandeur et en direction, pendant que la masse m décrit les cordes

nous aurions, par le numéro précédent,

i/w(KÎ-eJ) = F,c,cos(a 0 +AJ, .

v\ ) = F, c , cos («, + /*,),

- >n ( vk - *£, ) = F „c n cos («,-MJ;

d’où — oJ) = 2Fccos(a-h A).

A mesure que le nombre n augmente , le second membre tend vers (161)

limZFccos(a + A) = S. F; donc, en remplaçant v K par v :

178. Corollaire. — Le travail T de la force F étant considéré comme une fonction du temps , la dérivée de cette fonction est égale au produit de la masse par la vitesse et par la dérivée de la vitesse. En effet, l’équation précédente donne

. -m.ivv' =T .

Principe des forces vives.

179. Nous allons reprendre , sous un point de vue un peu différent , les théories précédentes , de manière à en conclure le principe de la conservation des forces vives , principe fondamental en Mécanique.

Soit, au bout du temps t, F la force qui sollicite le point matériel , dont la masse est nu Soient X, Y, Z les composantes de cette force, parallèles à trois axes rectangulaires.

D’après le principe de X indépendance des effets produits par plusieurs forces (103), le mouvement do la projection du point ni, sur chacun des axes , est uniquement dû à la composante parallèle à cet axe. Donc, en désignant par x , /, z les coordonnées du point, nous aurons (114)

wx"=X, my" — Y, »«" = Z. ( 1 )

Ajoutons ces trois équations (*) après les avoir multipliées res-

(*) Les relalians(i) senties équations du mouvement d'un point materiel. Dans chaque cas particulier, il s’agit (l'en conclure les valeurs de x, y, z, x',y', z' en fonction du temps t et de six constantes arbitraires: c’est là un problème de Calcul intégral.

pectivement par x', y\ z'; nous aurons encore

m(x'x"-\-y'y"+z l z") = Xx'+- Yj'+Zz';

ou, en nous rappelant que x'x"-+-y'y” 4-z'z" = *V = w', »w'=Xx'-4-Yj' + Zz'. (2)

Cela posé, si le second membre de cette dernière équation est la dérivée (Tune fonction y de x, y, z, on aura, en remontant des dérivées aux fonctions primitives,

I rnv 2 = <f(x, y, z ) 4- const. ,

c’est-à-dire, en désignant par f 0 , x # , j 0 , z 0 des valeurs correspondantes de v, x, y, z,

Ainsi, en admettant l’hypothèse établie tout à l’heure : i° quand le mobile passe d’une position à une autre , P accroissement de sa force vive dépend uniquement de ces deux positions extrêmes , et non de la route qu’il a suivie; i° toutes les fois que le mobile repasse par la même position, il reprend la même vitesse (*).

Cette dernière propriété constitue le principe de la conservation des forces vives.

180. Remarques. — I. En comparant les valeurs de mw', trouvées dans les deux numéros précédents , on obtient

T'=Xx'+Yj'+Zz'. (4)

Pour vérifier directement cette relation, il suffit de mettre le second membre sous la forme

Fs Y — . — * s Vf 7

I yl+l i\

La quantité entre parenthèses est égale au cosinus de l’angle a formé par la direction do F et par la tangente à la trajectoire. De

(*) Pourvu , bien entendu , que çj(x, y, s) ne puisse pas prendre deux valeurs differentes pour un même système de valeurs des coordonnées x i Ï 1 s. (J. Bertrand, Journal de l'École Polytechnique , 28 e cahier.)

plus,

F = mtv, w cos « = «''(*), s' = v.

Donc T ' = mvv'\ '

comme ci-dessus.

II. De même, en égalant les deux valeurs trouvées pour l’accroissement de la force vive, on obtient

Surfaces de niveau.

181. Puisque, d’après l’équation (3), la vitesse actuelle du point matériel m dépend seulement de sa vitesse initiale, de sa position initiale et de sa position actuelle , il en résulte que différents mobiles, ayant la même masse m, partis du point (x # , y 0 , z,) avec la vitesse <> t , seront animés de vitesses égales quand ils occuperont des positions pour lesquelles la fonction cp (x, y, z ) aura une même valeur X. Autrement dit, ces mobiles auront des vitesses égales, lorsqu’ils rencontreront la surface S représentée par

X étant un paramètre arbitraire (**).

La même propriété subsiste , si les points matériels considérés , au lieu d’avoir une même position initiale, sont partis, avec la vitesse v 0 , de différents lieux situés sur la surface particulière S, qui répond à une valeur \ du paramètre X. On a donc ce théorème général :

Si différents mobiles, ayant des masses égales, sont soumis à une meme force , et qu’ils partent , avec la meme vitesse, de différents points situés sur la surface S„, ils seront animés de vitesses égales quand ils atteindront la surface S.

182. Les surfaces S, représentées par l’équation (i), jouissent d’une autre propriété remarquable, que l’on peut énoncer ainsi :

La force F, appliquée au point matériel m, est normale à la surface S passant en ce point.

' (*) On ne doit pas oublier que la composante tangentielle de \‘accé~ Irration totale W, c’est-à-dire Y accélération tangentielle , est égale à v'.

(**) En général , le temps t au bout duquel auront lieu la rencontre, ne sera pas le même pour tous les points.

aoa MÉCANIQUE.

Pour la démontrer, rappelons-nous que , par hypothèse ,

Xx' + Yj'+Zz'

est la dérivée de ? (x, y, z), obtenue en regardant x, y, z comme des fonctions quelconques de t : ainsi

D’un autre côté, la normale à la surface S fait, avec les trois axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à f x , < 5 / , y' t (T. D., 205) ou à X, Y, Z : cette normale coïncide donc, en direction, avec la force F.

183. Remarques. — I. Si le point matériel m, sollicité par la force F, était posé, sans vitesse initiale, sur la surface S, il resterait en repos, pourvu que la surface eût une résistance suffisante : pour cette raison, on a donné, aux surfaces dont il s’agit, le nom de surfaces de niveau (*).

II. Dans le cas de la pesanteur, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux.

En effet, à cause de

X = o, Y = o, Z — mg ,

la fonction y se réduit à mgz. Donc différents mobiles pesants, partis d’un meme point À, et assujettis à se mouvoir sur diverses lignes ABC, AB'C', AB"C'',..., auront des vitesses égales, quand ils atteindront un même plan horizontal BB'B” (**).

Réaction de» surfaces ou des lignes.

184. Jusqu’à présent , nous avons supposé que le point matériel considéré était entièrement libre dans F espace; mais il peut arri-

(*) Par analogie avec ce qui a lieu pour la pesanteur: la direction de celle force est normale à la surface des eaux tranquilles.

(**) On verra, tout à l’heure, que la résistance de la courbe ou de la surface sur laquelle se meut le point matériel, n’altère pas la vitesse due à la force extérieure qui le sollicite.

MECANIQUE. ao3

ver qu’un point soit assujetti à se mouvoir sur une ligne ou sur une surface donnée. Si l’on fait abstraction du frottement, dont nous parlerons plus tard , on peut aisément ramener le second cas au premier. Effectivement, une surface polie ne peut détruite que les forces qui lui sont normales (*); donc elle agit, sur le point matériel , comme le ferait une force normale N, qui tendrait à éloigner le point de la surface. En joignant cette force inconnue aux forces données, on retombera, comme nous venons de le dire, sur la recherche du mouvement d’un point entièrement libre.

De même , si le point est astreint à parcourir une ligne donnée, on joindra, aux forces qui le sollicitent, une force normale N, de direction et de grandeur inconnues, représentant la réaction de la courbe.

185. Théorème. — Le travail des forces appliquées à un point qui se meut sur une surface donnée ou sur une ligne donnée, n'est pas altéré par la réaction de cette surface ou de cette ligne.

En effet, cette réaction étant normale à la trajectoire, ne produit aucun travail.

186. D’après l’équation (5), appliquée à la résultante R de la force donnée F et de la réaction N , on a

*) — J», z 0 ) = ER = GF-t-£N;

ou, par le théorème précédent,

ou enfin /«(c J — v\ ) = iq{x, y , z) — a«p(x„ z„).

Ainsi le principe des forces vives subsiste , sans modification , dans le cas d’un point matériel assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface. En particulier : Si un point matériel, en mouvement sur une surface ou sur une courbe donnée , n’est sollicité par aucune force extérieure , sa vitesse est constante (**).

(*) Nous reviendrons plus loin sur ce principe, que l’expérience démontre suffisamment.

(**) On fait toujours abstraction du frottement.