Pour trouver la fonction primitive du second membre, il

gM g-»

suffit de le mettre sous la forme b ^ ; on obtient ainsi

z étant l’espace parcouru par le mobile.

200. A cause des formules (3) et (7), le temps /, de la chute est donné par l’équation

COS a

Posons, pour abréger, = m; nous la transformerons en

d’ou

(*) La seconde valeur de u, inverse de celle-ci, conduirait à une valeur négative de (,, qui ne saurait convenir à la question.

et

/. = |/.tang(j+j)- (.3)

201. En ajoutant /, avec t 7 , on aura le temps T qui s’est écoulé entre le départ et le retour du mobile ; savoir :

T = i[“ + , 'Ui” 6 + ('4)

202. La vitesse v 7 que possède le mobile quand il vient frapper le sol , est donnée par la formule

— e~*‘i v«—b—r, JT*

Or, e*'» = tang ^ i donc, après quelques réductions, (' J =6sina. (i5)

D’ailleurs, la vitesse initiale, dans le mouvement ascendant, était

a — b tang a ;

donc f'j < a. Ainsi , la vitesse au retour est moindre que la vitesse au départ. Par conséquent, le mobile emploie moins de temps à s'élever qu’à redescendre. C’est ce qu’on peut vérifier directement, au moyen des valeurs de r, et de t 7 .

203. Problème V. — Déterminer le mouvement rectiligne d’un point matériel m, repoussé par un centre fixe O, en raison inverse du carré de ta distance.

i°. Supposons que le mobile soit parti, sans vitesse initiale, d’un point A situé à la distance d du centre O. Soit b l’accélération en A. Quand le mobile sera parvenu à la distance x du centre,

l’accélération aura pour valeur b • Donc

On tire de là, comme dans le Problème I,

ou

\J'i bd.

2 °. Pour obtenir la relation entre Fespace et le temps , on peut remarquer que l’équation ( 2 ) donne

2 bcP

X ~ ibd-S'

puis

x' = 4 bd?

vv'

(2 bd — (**)*’

en sorte que l’équation (3) équivaut à

< W (ÏS?^ *?=■(*>. (*>

La décomposition en fractions rationnelles {Alg., 408) donne ensuite

b ,fTbd-\-v , bv

ay/lM fTbd—v *bd-v*

Cette équation permet de calculer le temps en fonctions de la vitesse.

3°. Remplaçant v par sa valeur ( 2 ), on trouve enfin

/Tr < 'Æ+^ 5g + t /x(»-rf) i =) („ v (?)