Problème VI

— Un pendule simple OM, de longueur l, part de la position OA, sans vitesse initiale. Quelles sont les circonstances de son mouvement?

Le pendule ne sortira pas du plan vertical AOC mené par la position initiale OA.

Le point matériel M se meut donc sur la circonférence ACB ayant pour centre le point de suspension 0. Comme il est uniquement sollicité par son poids , sa vitesse , au bout du temps t , sera donnée par

(*) On est naturellement conduit à cette transformation , en essayant de rendre rationnel le premier membre de l’équation (3).

(**) Pour abréger, nous supprimons la discussion de ces diverses formules.

l’équation des forces vives (179):

i bip* — mgh ,

h représentant la différence de niveau entre les positions A, M.

205. Représentons par a , 0 les angles AOC , MOC ; nous aurons

h = A'M' = /(cos0 — cosa); puis o = ^%gl{ cos0 — cosa). (i)

D’après cette formule , la vitesse v augmente lorsque 0 diminue : nulle pour 0 = «, elle atteint son maximum lorsque 0 = o, c’està-dire quand le pendule coïncide avec la verticale OC. A partir de cette époque, la vitesse diminue jusqu’à ce que le pendule atteigne la position OB , symétrique de OA ; après quoi les mêmes phénomènes se reproduisent indéfiniment. Le pendule effectue donc une série d’oscillations ayant toutes, pour amplitude, l’angle AOB = aa. Ces oscillations sont isochrones, parce que le mouvement de B vers A est le même, au sens près , que le mouvement de A vers B ( * ).