Remarques. — I. La durée d’une oscillation quelconque

(*) On pourrait prendre pour point de départ la formule (a), qui exprime une propriété de la tangente.

(**) On prend le signe — devant le radical, parce que l’ordonnée y diminue quand le temps augmente.

(***) Q n démontre, dans les Traités de Mécanique rationnelle, qae la cycloïde est la seule courbe tautochrone plane. De plus, cette courbe est brachyttochronc , c’est-à-dire que le mobile emploie moins de temps à parcourir l’arc DC de cycloïde qu’à suivre toute autre courbe terminée aux points D, C.

ai4 mécanique.

sur la cycloïdo est égale à la duré d’une oscillation très-petite sur le cercle osculateur au sommet C.

II. On peut démontrer que la développée d’une oycloïde ACB se compose des deux demi-cycloïdes AO, BO. Il résulte, do cette propriété, qu’un pendule simple OID, dont la longueur OC serait égale à 4 B» et qui s’enroulerait sur les courbes AO, BO, aurait des oscillations isochrones, indépendantes de leur amplitude. Cet appareil, que l’on voit dans quelques cabinets de physique, porte le nom de pendule cycloïdal.

212. Problème VIII. — Déterminer le mouvement (P un point attiré vers un centre fixe , par une force proportionnelle à la distance (*).

En prenant pour origine le centre fixe , et en supposant l’accélération totale représentée par la distance des deux points , on a , pour les équations du mouvement (179) :

213. Si l’on multiplie par x' les deux membres de l'equation (i), et qu’on prenne les fonctions primitives , on trouve

x n = 4 5 cos 5 a-j- a 2 — x J , (4)

k étant la vitesse initiale , a l’angle qu’elle forme avec l’axe desx, et a la valeur initiale de x.

Les équations ( a ) et ( 3 ) donnent , semblablement ,

jr n = Pcos i P + b'—y > , ( 5 )

ss^’cos’v + c’ — z 1 . (6)

Par suite, la vitesse v, dont les composantes sont x ', z', est

donnée par l’équation

(*) La solution de ce problème est tellement simple, qiw nous ne l’aurions pas donnée si elle n’oflrait une vérification de quelques propriétés générales du mouvement d’un point matériel.

(**) Le principe des forces vives aurait donné, immédiatement, cette équation ( 7 ).

MÉCANIQUE. ai5

dans laquelle r représente la distance du mobile au centre d’attraction, et l la valeur initiale de cette distance. En d’autres termes,