Pour abréger, posons

arc sm ■■ = /,

y k' 1 cos J a -f- à 1

tangi=-j : (q)

° k COS a * X '

nous aurons, au lieu de l’équation (8),

sin (/ + *). , .

puis , par un changement de lettres ,

, sin(/ + «) ,

y = b — V 1 -» (ii)

smp ' '

sin(f-f-v) .

z — c — ^ (ia) smv ' \

Les équations ( 4 ), ( 5 ), (6), (7), (10), (11), (12), résolvent complètement le problème (*). On peut d’ailleurs, pour plus de sim-

(*) Le lecteur remarquera que parmi les orne constantes contenues dans ces équations, six seulement sont arbitraires.

ai6 MÉCANIQUE,

plicité , remplacer les trois premières par les formules

x'= v/A J cos J a4-a 3 cos(r -f-À ),

/' = \J P cos 5 (3 + cos ( f p ),

z' = \/X 5 cos 3 7 + c’cos [t + v ).

216. Surfaces de niveau. — D’après la formule ( 7 ), la vitesse du mobile , à un instant quelconque , dépend uniquement de la vitesse initiale 4, de la distance r au pôle attractif, et de la valeur initiale de cette distance. Par conséquent, si l’on imagine deux sphères, de rayons l, r, ayant pour centre commun le pôle, tous les mobiles partis de la première surface , avec une même vitesse, seront animés de vitesses égales , quand ils rencontreront la seconde sphère : celle-ci est donc une surface de niveau (184).

217. Nature de la trajectoire. — On peut reconnaître, soit par un raisonnement très-simple, soit par le calcul suivant, que Ut trajectoire est située dans un plan passant par le j)ôle.

Retranchons membre à membre les équations ( 1 ), ( 2 ), après avoir multiplié la première par y et la seconde par x ; nous aurons ,

yx" — xy" — o.

Le binôme yx" — xy" est la dérivée deyx' — xy'; donc yx'—xy'= h, ( 14 )

h étant une constante qui dépend de a, ( 3 , 7, ... .

Par une permutation tournante, nous déduirons, de l’équation ( 14 ),

zy'—yz =f (i 5 ) xz' — zx'=g. (16)

Enfin, en éliminant x', y\ z' entre ces trois dernières relations, nous trouvons

fx-\-gy+hz = o, (17) équation d’un plan passant par l’origine (*).

(*) On reconnaît facilement, en mettant l’équation Q 4 ) sou9 la forme

^arc tang =h,

que la projection du rayon vecteur décrit des aires proportionnelles aux

218 . Puisque la trajectoire est plane, nous pouvons la rapporter à deux axes rectangulaires situés dans son plan. De plus, nous pouvons faire passer l’axe des abscisses par la position initiale du mobile. Nous obtenons ainsi, au lieu des équations (10) et suivantes :

sin (t + \) ~ sin^ ’

(iS)

y =Xsinasinr, (19)

jt= COi(t + >) (M)

sm k '

y' = Xsinacosf; (21)

puis, en éliminant t entre (18) et (19) :

/y + X^xsina — /cosa) l = /’X’sin^a. (22)

Cette équation représente une ellipse qui a pour centre le pôle attractif. Le diamètre de cette courbe , dirigé suivant l’axe des abscisses, est évidemment égal à il. De plus, on reconnaît aisément que le diamètre conjugué de celui-ci , parallèle à la direction de la vitesse initiale X, a pour valeur 2 X. Il est donc trèsfacile de construire la trajectoire, au moyen des conditions initiales.

219 . Remarques. — I. Un point quelconque de la trajectoire peut être regardé comme la position initiale du mobile, pourvu que le temps soit compté à partir de l’époque correspondante. Par conséquent, la vitesse du mobile est égale, à chaque instant, au demi-diamètre parallèle à la tangente suivant laquelle cette vitesse est dirigée.

II. Si a = o, c’est-à-dire si la vitesse initiale est dirigée suivant le rayon vecteur, la trajectoire est rectiligne.

III. Si l’on suppose a = - , X = /, l’ellipse se réduit à un cercle, et le mouvement devient uniforme.

temps. Et comme la trajectoire est plane , les aires décrites par le rayon vecteur lui-mème sont également proportionnelles aux temps. Cette propriété remarquable, qui subsiste toutes les fois que le mobile est attiré (ou repoussé) par un centre fixe, constitue le principe des aires.

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