Lemme. — Deux forces, égales et directement opposées

(*) Cette dernière propriété porte le nom d’élasticité.

(**) U ne s’agit ici , bien entendu, ni du poids du corps, ni des attractions ou répulsions qui s’exercent entre ses molécules.

appliquées en deux points d’un meme corps solide , se font équilibre , en sorte que l’état du corps n’est pas altéré par l’introduction de ces forces.

Ce principe, réciproque de celui du n° 96, peut être regardé, soit comme un axiome, soit comme un résultat de l’expérience : il ne paraît pas susceptible d’une véritable démonstration. Relativement à la portée qu’on doit lui attribuer, nous ferons observer qu’il ne serait applicable, d’une manière absolue, qu’à des corps ayant une rigidité infinie. Mais si, comme nous venons de le dire, on suppose les forces considérées assez petites, relativement à la résistance du corps, pour que les changements de figure qu’il éprouve, sous leur action, soient insensibles, la proposition est d’accord avec les faits, et simplifie beaucoup certaines démonstrations.

224. Théorème I. — On peut appliquer une force en un point quelconque de sa direction, pourvu que ce point soit invariablement lié au premier point d’application.

Soit, pour fixer les idées, la force F appliquée en un point A

appartenant à la surface du corps solide M ; je dis que cette force peut être supposée appliquée au point B, situé dans l’intérieur du corps , sur le prolongement de FA.

Pour le faire voir, imaginons, en B, deux forces égales à F, l’une F' dirigée suivant BA , l’autre F" opposée à F' : ces deux forces auxiliaires, étant égales et directement opposées, se font équilibre (*). D’un autre côté, les forces F', F" se font également équilibre : si nous les supprimons , ce qui ne changera en rien l’état du corps, il ne festera que la force F', appliquée en B. Cette dernière force peut donc tenir lieu de la force F, appliquée en A. C’est ce qu’il fallait démontrer.

225. Théorème II. — Lorsqu'on transporte une force en un point quelconque de sa direction, son travail élémentaire ne change pas.

Attribuons à la droite AB, qui joint les deux points d’applica-

(*) Cette proposition, assez évidente d’ailleurs, peut être regardée comme un cas particulier du lemme précédent.

tion, un déplacement très-petit, de manière à l’amener en A' B', et projetons les points A', B' sur AB , en A", B".

Quand la force F est appliquée en A, son travail élémentaire est F. AA". De même, quand on la suppose transportée en B, son travail élémentaire est F.BB". D’après l’énoncé, ces deux travaux doivent être égaux entre eux, du moins quand les chemins AA', BB'

AA

seront suffisamment petits; c’est-à-dire que le rapport gg^

avoir pour limite l’unité (*). Pour le démontrer, au moins dans un cas simple, faisons

AB = A'B'= /, AA '=«, BB'=6, A' AA "=«, B'BB" = p,

et supposons que la figure ABB'A' soit plane; nous aurons, dans le trapèze A' B' A” B",

OU /’= (l-\- a cos a — b cos P)’ (a sina — b sin P) 5 .

En effectuant et réduisant , on trouve

o = 2 /(fl cosse — £)C0sS)4-rt’4-i J — cos (a 4 - (3).

Maintenant, si nous divisons tous les termes par aftcosp, nous aurons

a cos a , 1 fa , „„„ , , ft \"l .

o = y z — 1 4-—; g T'fl4-6-aacos «4-P

b cos p a/cosp L^ J

et, en faisant décroître a et b jusqu’à zéro,

.. fl COS se

0 = lim t— r, — 1 ,

ou

^ cos [3 AA"

(*) La transformation que nous sommes obligé de faire subir à l'énoncé confirme la note du n° 160 .

aaa MÉCANIQUE.

Composition des forces parallèles.

226. Théorème I. — Deux forces F, F' parallèles et de même sens, appliquées en deux points A , B d'un corps solide, ont une résultante R parallèle à leur direction commune, agissant dans le même sens, et égale à leur somme. De plus, la direction de cette résultante partage la droite AB qui joint les points d'application des composantes, en deux segments additifs, inversement proportionnels à ces composantes.

Sans changer l’état du corps, nous pouvons appliquer, aux points A, B, deux forces f, f, égales et directement opposées (223).

Soient AG, BH, les droites égales qui représentent ces forces auxiliaires, et AD, BE celles qui représentent les forces données.

Les forces F, /, appliquées en A, ont une résultante S représentée par AI . De même, les forces F', /' se composent en une force S', représentée par BK. Soit O le point de concours deô directions IA, KB (*) : les forces S, S' peuvent être supposées appliquées en ce point (**) (224). Cela étant, menons MON parallèle à AB, OC parallèle à AD, puis décomposons, suivant ces deux directions , chacune des résultantes partielles S, S'. Nous obtiendrons, comme tout à l’heure, les deux forces f /', égales et directement opposées , et les deux forces F, F', dirigées cotte fois suivant OC. Par conséquent, la première partie du théorème est démontrée.

Pour vérifier la seconde, il suffit d’observer que les triangles

(*) Ce point existe, parce que la somme des angles 1AB, ABK est comprise entre a d et 4 d .

(**) En rendant suffisamment petites les forces f, f , on peut rapprocher le point O, autant qu’on le voudra, de la droite AB. Par conséquent, il est permis de supposer que ce point appartient au corps solide; ce qui est nécessaire pour justifier l’application du lemme.

MÉCANIQUE. a*3

IAD, AOC, KBE, BOC sont semblables deux à deux. Donc