IV. En même temps, les proportions ci-dessus deviennent

AC CC' i CO £

Ainsi, le point C est le milieu de AA'; le point C' est situé au tiers de CA", «à partir de C; le point O est situé au quart de C'A”, à partir de C', etc.

231. Au moyen des théorèmes précédents, on pourra toujours effectuer la composition d’un nombre quelconque de forces parallèles, agissant, les unes dans un sens, les autres dans le sens opposé. En effet, on peut d’abord chercher la résultante R, des forces appartenant au premier groupe (229), et la résultante R, de celles qui appartiennent à l’autre groupe. Cela posé, trois cas principaux peuvent se présenter :

i°. Si les résultantes partielles R,, R, sont inégales, elles se composent en une seule force R : les forces proposées pein ent donc se réduire à une résultante unique.

%°. Si les résultantes R, , R, sont égales et directement opposées, elles se détruisent : les forces proposées peuvent donc se faire équilibre.

3°. Enfin, si les résultantes R,, R, sont égales et non dii-ectement opposées, elles constituent un couple : les forces proposées peuvent donc se réduire à un couple.

232. Remarque. — Dans le premier cas, la résultante est égale à la somme algébrique des composantes.

EXERCICES (**)

I. Une molécule est placée en un point duquel émane une force répulsive, proportionnelle à la n üme puissance do la distance.

(*) Voyez l’ouvrage intitulé Théorèmes et Problèmes de Géométrie, troisième édition.

Les énonces suivante sont tirés du savant Recueil publié en 1 855 par il. Jullien, sous le titre de Problèmes de Méaanique rationnelle. Paris, Mallet-Bachelier.

aa6 MÉCANIQUE.

Déterminer la vitesse dont le mobile est animé lorsqu’il a parcouru un espace donné , et le temps qu’il a mis à parcourir cet espace.

II. Un point matériel est attiré, vers un centre fixe, par une force inversement proportionnelle à la n*"" puissance de la distance. Trouver quel doit être le nombre n pour que la vitesse que le mobile acquiert en venant d’une distance infinie à la distance a, soit égale à celle qu’il aurait acquise en venant de la distance a à

la distance - •

Résultat :

III. Un point matériel est placé , en un lieu connu , sur la droite qui joint les centres de deux forces attractives égales, proportionnelles à la distance. Déterminer le mouvement du point.

IV. Un point matériel , qui se meut en ligne droite , est attiré ou repoussé, proportionnellement à la distance, par un pôle qui se meut suivant la même droite, avec une vitesse constante a. On connaît la vitesse initiale b du point attiré, ainsi que les positions initiales des deux mobiles. Quel est le mouvement du point attiré?

V. Un point matériel reçoit une Vitesse a dans un milieu homogène , dont la résistance est proportionnelle à la racine carrée de la vitesse. Déterminer l’époque à laquelle le point s’arrêtera.

Résultat : T = |y/5,

k représentant la résistance pour l’unité de vitesse.

VT. Un point matériel , lancé avec une vitesse de 3oo mètres par seconde, dans un milieu dont la résistance est constante, a perdu la moitié de sa vitesse en parcourant une longueur de i décimètre. Quel est le temps employé à parcourir cet espace?

Réponse: — — de seconde.

VH. Un point matériel décrit une parabole autour d’un pôle attractif, situé à l’intersection de la directrice et de l’axe. Trouver

aa7

la force qui sollicite le mobile en un point quelconque de sa tra j ectoire.

Résultat :

VIII. Déterminer le temps T qu’un projectile emploie à parcourir sa trajectoire parabolique (page 176), en fonction des vitesses e ( , v, aux extrémités de cet arc, de la vitesse e, au sommet de la parabole, et de l’angle 6 que font entre elles les tangentes aux extrémités de l’arc.

Résultat: T = sinô. »

IX. Un point matériel décrit une spirale logarithmique sous l’action d’une force constamment dirigée vers le pôle. Trouver l’expression de la force et la vitesse du mobile.

X. Un point matériel décrit une parabole sous l’influence d’un centre d’attraction placé au foyer de la courbe. Lorsque le mobile est à une distance donnée du foyer, la force attractive est subite ment doublée. Quelle est la trajectoire que le mobile va décrire?

Réponse : Une ellipse tangente à la parabole.

XI. Un point matériel , soumis à l’attraction d’un centre fixe, se meut avec une vitesse inversement proportionnelle à la «''"'‘puissance de la distance au centre. Trouver la loi de l’attraction et l’équation de la trajectoire.

XU. Un point matériel décrit une lemmscate ce Jacques Bernoulli (*), sous l’actién d’une force dirigée vers le centre de la trajectoire. Déterminer la loi de la force, et le temps employé à décrire une boucle de la lemniscate.

Résultat : F=£ 7 , T=v/-’

P étant une constante.

(■*) Cette courbe a pour équation u*= cos a «.