R = F, -HF,+. . .-4-F

R« = F^-t-Fj-Tj-K . -+F b x b ,

R b = F.r, + F -K • -H- F„/„; ou , pour abréger, • , • .'

R = 2F, Ra = 2F.r, Rè‘=2Fj'.

Ces équations donnent ( si S F n’est pas nulle ) :

2F.r .. 2F v a '~ 2F. ’ b ~lf"

245. Remarque. — Lorsque toutes les forces F sont égales et qu’elles agissent dans le même sens ,

R — «F, a — - 2 jc, b = - 2 r.

246. Discussion. — Nous savons (231) que la composition des forces parallèles présente trois cas principaux : les forces proposées peuvent avoir une résultante unique, ou bien elles peuvent se faire équilibre, ou enfin elles peuvent se réduire à un couple.

i°. Dans le premier cas, les deux résultantes partielles R,, R a sont inégales. Donc la somme algébrique de toutes les forces données est différente de zéro , ou

MÉCANIQUE. a33

a°. Quand il y a équilibre, les deux résultantes partielles R,, R, sont égales et directement opposées. La première condition est évidemment exprimée par l’équation I F = o. Pour interpréter la seconde , appliquons le théorème des moments. En désignant, pour un instant , par F,, F„ F,, . . . , les forces qui agissent dans un sens , et par F',, F,, F,,. . ., celles qui agissent en sens contraire :

R A=É|.?'| -l-Fj.r'j-i-FaJa •*"•••>

= F'i7'i+F*/,-FF j / i -F. • • ;

d’où , à cause de R, = R„ a, = c„ 6, = :

,o = F 1 r 1 -FF, r ,-F...-F,/ 1 -F, 7 '-.. ! 1 1

Ainsi : i° la somme algébrique des forces est nulle ; 2 ° les sommes algébriques des moments des forces, par rapport à deux plans parallèles a leur direction, sont séparément nulles. Les équations de l’équilibre sont donc * . .

lF = o, lFx = o, 2Fjr = o. (a)

- 3°. Lorsque le système se réduit à un couple, R, = R,, mais Pon n’a pas, h la fois , «, = «„ b x = b, ; de sorte qu’une des égalités (A), au moins, est remplacée par une inégalité. Dans ce cas : i° la somme algébrique des forces est nulle; i° si Pon fait la somme des moments des forces , par rapport à deux plans parallèles à leur direction commune, une de ces sommes, ou moins , est différente de zéro. . .

247. Remarque. — Si la somme des moments est nulle, le plan des moments contient les résultantes partielles R,, R,, ou il est parallèle au plan qui les contient.