Nous avons vu que , pour tout système de forces paral
lèles, il existe un centre par lequel passe constamment la résultante, lorsque les composantes tournent autour de leurs points d’application (230). Par conséquent, si Ton considère un corps quelconque comme unassemblage do points matériels ou molécules, et si Ton fait attention que les poids de ces molécules sont des forces sensiblement parallèles , on conclura qu’il existe un point unique par lequel passe constamment la direction du poids, quand on tourne le corps dans diverses positions à l’égard de l’horizon. Ce point est le centre dé' gravité du corps. » »
249. Remarque. — Quand le centre de gravité est situé à l’intérieur du corps , on peut supposer le poids de celui-ci appliqué en ce centre; de sorte que, dans ce cas, le centre de gravité est le /joint cf application du poids du corps. C’est cette propriété que nous avions adoptée provisoirement comme définition (119).
250. Pour obtenir, expérimentalement, la position du centre de gravité G d’un corps solide M, il suffit do suspendre le corps, au moyen d’un fil, successivement dans deux situations différentes A, B. Si Ton prolonge, par la pensée , les directions ab, a’ b 1 du fil, elles se rencontreront au centre de gravité cherché.
En effet , dans chacune des positions d’équilibre du corps , la direction du fil passe par le centre de gravité. •
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MÉCANIQUE. a35
^Détermination des centres de gravité.
251. Problème I. — Déterminer le centre de gravité cT un sys- * tème de corps, connaissant le centre de gravité et le poids de chacun d’eux.
Pour que le système soit invariable de figure, il faut que l’on suppose les corps liés les uns aux autres par des tiges. rigides; de plus, ces tiges doivent être sans pesanteur, c’est-à-dire que l’on néglige leurs poids. Cela posé , si l’on prend d’abord les moments par rapport à deux plans verticaux , perpendiculaires pour plus de simplicité, on aura (244)
P = 2/?, P« = Ipx, Vb— Ipy,
P désignant le poids d’un quelconque des corps donnés.
Prenant ensuite les moments par rapport à un plan horizontal arbitraire, on aura pareillement
Pc = 2Pz (*). •
Les coordonnées rectangulaires du centre de gravité cherché seront donc
2 px
252. Problème II. — Déterminer le centre de gravité d’un corps de forme donnée , connaissant la loi de la densité en chacun de ses points.
Pour essayer de résoudre cette question , on suppose le corps décomposé en éléments très-petits, par exemple en parallélipipèdes rectangles ayant leurs faces respectivement parallèles à trois plans coordonnés : les arêtes de l’élément dont un sommet a pour coordonnées x, y, z seront ^.r, Aj, A z. Soit
(*) Il est nécessaire d’employer cette dernière équation, parce que le Rentre de gravite d'un corps , au lieu d’ètre un point quelconque de la direction de son poids, est un point unique de cette ligne. D'ailleurs, comme la direction de la pesanteur est invariable, on peut supposer que l’on a fait tourner, à la fois, tous les corps composant le système donné, de manière à rendre horizontale l’intersection des deux plans par rapport auxquels on avait d’abord pris les moments.
a36 MÉCANIQUE.
la densité au point considéré , c’est-à-dire la limite vers laquelle tend le rapport entre le poids p et le volume A xAj^Az de l'élément (*). Les coordonnées du centre de gravité de celui-ci sont comprises entre .r, r, z et x + Ax, jr-f-A/, z + Az. De plus, le poids de cet élément peut être supposé compris entre
AxAjAzsp et AxAjAz(<p-f-A:p).
On conclut facilement de là que le poids du corps est P = limS (AxAjAztp),
et que les coordonnées de son centre de gravité sont données par
les formules
Iim2 (xAxA/Azç) - .
b lim2(jAxAj.Az<p)
lim2(zAxAjAz<p) •
253. Quand le corps est homogène, ? est une constance, et l'on a simplement
lim 2 (xAxA/Az) n — y — : > -
liml( /AxArAz)
limS(zAxAjAz)
V représentant le volume, c’est-à-dire Um2(AxAjAz) (**).
254. Avant d’appliquer les formules précédentes à quelques exemples simples, nous établirons divers théorèmes qui permettent, dans certains cas, de résoudre, sâns aucun calcul, les problèmes relatifs aux centres de gravité.
(*) Celle définition , qui suppose la continuité de la matière, conduit cependant à des résultats suffisamment exacts, du moins quand le corps n’a pas de pores appréciables.
(**) La recherche de ces diverses limites constitue un problème de Calcul intégral.
256. Théorème I. — Si un corps homogène M a un centre de figure O, ce point est le centre de gravité du corps.
A chaque molécule ou point matériel m correspond , sur la corde aOa' passant en ce point, une autre molécule m', symétrique de la première, relativement au centre O. Si donc, comme nous l’avons supposé, les deux molécules ont des poids égaux , leur centre de gravité sera le point O. Les poids de toutes les molécules du corps , prises deux à deux , sont donc appliqués en ce point, lequel, conséquemment, est le centre de gravité du corps.
257. Théorème II. — Si les centres de gravité de plusieurs corps sont dans un plan, le centre de gravité du système est dans ce même plan.
En effet, d’après le théorème sur la composition d’un système de forces parallèles (229), il s’ensuit que si les points d’application de ces forcés sont dans un même plan, le point d’application de la résultante est également dans ce plan.
258. Corollaire. — Si les contres de gravité de plusieurs corps sont sur une droite , le centre de gravité du système est sur cette droite.
259. Théorème III. — Si un corps homogène renferme un plan diamétral, le centre de gravité du corps est dans ce plan.
Soit XY un plan diamétral du corps, c’est-à-dire un plan qui divise en deux parties égales toutes les cordes ab, a' b', a" b", . . . , terminées à la surface et parallèles à une meme direction ( T. D., 75). A chaque molécule ou point matériel m correspondra, sur la corde ab passant en ce point , une autre molécule m' symétrique de la première , par rapport au milieu c de ab. Le centre de gravité du système (m, m') est donc en c (256). Par suite, le centre de gravité de la file ab de molécules sera également en c, c’est-àdire dans le plan XY : ce plan contient donc le centre de gravité du corps (257).
260. Corollaire. — Si un corps homogène renferme un plan de symétrie, son centre de gravité est dans ce plan.
261 . Les conséquences des théorèmes précédents sont fort nombreuses; nous en citerons quelques-unes :
i°. Sphère f parallélipipèdc, cylindre droit ou oblique. — Dans chacun do ces corps , le centre de gravité coïncide avec le centre de figure.
2 °. Cercle, jmrallélogramme , polygone régulier, ligne droite ( * ). — Le centre de chacune de ces figures est également le centre de gravité de la figure.
5 °. Triangle. — Le centre de gravité d’un triangle est le point de rencontre des trois médianes (259)'
4°. Prisme triangulaire. — Le centre de gravité d’un prisme triangulaire est situé au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases (259).
Etc.
262. Remarques. — I. La notion du centre de gravité suffit, indépendamment de toute autre théorie, pour établir le théorème relatif au point de concours des médianes d’un triangle. En effet, le centre de gravité du triangle devant se trouver sur chacune de ces trois droites , elles concourent nécessairement en un même point. - .
De même, la droito qui joint les milieux de deux arêtes opposées d’tin tétraèdre est, comme on le. reconnaît aisément, l’intersection de deux plans diamétraux de ce corps ; donc elle contient le centre de gravité cherché; donc, dans tout tétraèdre , les trois droites que l’on obtient eu joignant les milieux de deux arêtes opposées concourent en un même point, centre de gravité du tétraèdre.
IL Le centre de gravité G d’un triangle ABC est situé au tiers de chaque médiane, à partir de la base correspondante .
En effet, les deux triangles BGC, B'GC', évidemment semblables, donnent
BG' B'C' i
BG ~ BC 2 ’ GtC '
III. Le centre de gravité G d’un triangle ABC coïncide avec le
(*) Ce qu’on appelle un cercle pesant est un cylindre excessivement mince; de môme, un parallélogramme pesant est un parallélipipcde dont la hauteur est sensiblement nulle, etc.
MÉCANIQUE. a3s
centre de gravité du système de trois poids égaux , ayant pour centres de gravité les sommets A , B , C.
IV. Le centre de gravité G d’un tétraèdre ABCD est situé sur la droite Dg- menée d’un sommet quelconque D au centre de gravité g de la base ; il est au quart de cette ligne , à partir de la base.
En effet : i° les deux plans diamétraux AA'D, CC'D contiennent le centre de gravité du tétraèdre ; donc ce centre est situé sur leur intersection Dg-.
a°. Soit g' le centre de gravité de la face BCD. On aura
Gff gff g A' i .
