ÉQUILIBRE ET TRAVAIL DES FORCES APPLIQUÉES AU LEVIER
309. Considéré dans toute sa généralité, le levier est un corps solide, mobile autour d’un point fixe. Dans la pratique, on donne spécialement le nom de levier à une barre rigide, droite ou coudée, reposant sur un point fixe. Les pédales des pianos ou des roues d’émouleurs, les barres de fer employées par les paveurs, etc. r sont des leviers par l’intermédiaire desquels une puissance et une résistance se font équilibre , du moins quand ces machines sont à l’état de mouvement uniforme.
310. Quand le point fixe est situé entre les points d’application des deux forces, le levier est dit du premier genre. Il est du deuxième genre si le point d’application de la résistance tombe entre le point fixe et le point d’application de la puissance. Enfin, dans le levier du troisième genre , le point d’application de la puissance est situé entre l’autre point d’application et le point fixe. La ba-
a66 MÉCANIQUE.
lance ordinaire et la balance romaine sont des leviers du premier genre; les leviers des tailleurs de pierre appartiennent au deuxième genre; les pédales peuvent être considérées comme des leviers du troisième genre.
311. Quelle que soit l’espèce du levier BAC, il faut, pour l’équilibre, q uc la puissance P et la résistance Q aient une résultante égale et directement opposée à la réaction R du point fixe A : car ces trois forces sont les seules qui soient appliquées à la machine (*). La puissance et la résistance doivent donc être situées dans un meme plan passant par le point fixe.
Cette condition n’est pas suffisante : il faut encore que la somme
des travaux des forces P, Q, R soit constamment nulle.
La réaction R, passant par le point fixe , a un travail nul; d’un autre côté, si le levier tourne d’un petit angle w, dans le sens indiqué par la flèche f les travaux des forces P, Q seront sensiblement Vpw et Qq w, p et q représentant les distances du point fixe aux directions des deux forces, ou les bras de levier de ces forces.
La seconde condition de l’équilibre est donc
ou
P^>« — Qq w = o,
Ainsi , la puissance et la résistance sont en raison inverse de leurs bras de levier.
312. Remarques. — I. Cette condition aurait pu être obtenue indépendamment de la théorie du travail. En effet, les forces P, Q ayant une résultante passant par le point d’appui A, les distances de ce point aux deux composantes sont en raison inverse de ces composantes (1-43, a u ).
(*) On né{fli{;e, pour plus de simplicité, le poids du IcTier.
II. Dans le levier du deuxième genre , supposé rectiligne pour plus de simplicité, le bras de levier de la puissance est plus grand
que celui de la résistance. Donc , a cause de Q = ^ puissance
est moindre (pic la résistance. Le contraire a lieu dans le levier du troisième genre.
313. Si le levier est sollicité par un nombre quelconque de forces, F, F', F",..., il faut et il suffit, pour l’équilibre, que toutes ces forces aient une résultante, unique , dont la direction passe par le point fixe.
31 -i. Remarques. — I. On doit comprendre, parmi les forces données, le poids du levier.
II. Si le levier, comme on le suppose souvent, ne fait c\\xq reposer sur une surface fixe , la condition précédente ne suffit plus : il faut, en outre, que la résultante des forces données soit normale à la surface, au point de contact, et qu’elle presse le levier contre la surface.
9e la balance.
315. La balance est un levier du premier genre, aux extrémités duquel sont appliqués deux poids P, Q (*). D’après les usages auxquels la balance est desti-
V c 2 b née , ces poids doivent être
•3 A égaux quand l’équilibre est
établi, c’est-à-dire quand le fléau AB reste horizontal.
En représentant par R le poids de la balance , par r la distance de son centre de gravité G à la verticale passant par le point d’appui, etc., nous aurons, pour l’équation de l’équilibre (280):
Cette équation, qui doit subsister pour toutes les valeurs de P (**),
(*) Nous no donnons pas la description complète de la balance: ces détails appartiennent à la Physique.
(**) Du moins entre certaines limites.
aG8
se décompose en
Donc, pour que la balance soit juste, il faut : i° que les deux bras du fléau soient égaux ; i° que le centre de gravité de la balance soit sur la verticale passant par te point d'appui.
316. Remarque. — Quand la balance est fausse, on peut déterminer le poids P d’un corps, soit par la méthode des doubles pesées, due à Borda, soit en prenant la moyenne proportionnelle entre les poids a , b obtenus en plaçant le corps successivement dans les deux plateaux. En effet , de
Xp — aq, x q — bq ,
on conclut, X =fab[*).
317. Stabilité et sensibilité de la balance. Il ne suffit pas qu’une balance soit juste, il faut encore qu’elle soit stable, c’est-à-dire qu’elle tende à revenir à sa position d’équilibro , quand elle en a été tant soit peu écartée. Il faut, en outre, qu’elle soit sensible, ou qu’une légère différence entre les poids P, Q soit manifestée par un défaut
d’horizontalité du fléau. La premièro condition est vérifiée quand le centre de gravité G de l'appareil est au-dessous du point d’appui C. En effet , le poids R est décomposable en deux forces R', R" dirigées suivant le prolongement de CG et suivant la perpendiculaire à cette ligne.
La première composante est détruite par le point fixe; l’autre tend à ramener le fléau dans la position horizontale : la balance devient alors un pendule composé. • „ '
On voit, avec la même facilité, que si le centre de gravité coïncide avec le point d’appui, la balance reste en équilibre dans toutes ses positions; et que, si le premier point est au-dessus du second,
l’appareil tend à se renverser dès qu’il est écarté de sa position
(*) Cette formule, qui serait évidemment peu commode dans la pratique , suppose r = o.
d’équilibre. Dans le premier cas, la balance est dite indifférente ; dans le second , on dit qu’elle est folle.
318. Mesure de la sensibilité. — Soient : d la distance CG, ® le poids additionnel placé dans le plateau À, ,y l'angle du fléau avec l’horizon. Nous aurons, en conservant les notations précédentes,
(P + w)/;eos!p = Qiycosy-f-Refsiny.
Mais , par hypothèse , P = Q, p = q ; donc l’équation se réduit à
p rs
U,ng f = 'j. K -
Ainsi : i° pour une même balance, la tangente de P angle y es proportionnelle au jxtids additionnel w; 2 0 toutes choses égales d’ailleurs, cette tangente varie en raison inverse de la distance d.
319. En résumé, pour qu’une balance soit sensible, il faut que le centre de gravité soit au-dessous du point cP appui, et très-près de ce point (f).
