A = OA, / = PO 4- OP

<p et f ' sont les angles de frottement.

III. Une échelle, dont le poids et la longueur sont donnés, est appuyée contre un mur vertical. Quelle est sa position au moment où elle commence à glisser?

IV. Quelle est la force nécessaire pour retenir, dans une position donnée , une porte dont les gonds ne sont pas sur une même verticale?

V. Une tige rigide peut tourner librement autour de son extrémité inférieure, tandis que son extrémité supérieure s’appuie contre une droite verticale. Déterminer les pressions exercées par la droite et par la charnière.

VI. Une tige rigide peut tourner librement autour de son extrémité inférieure; son extrémité supérieure est soutenue par un cordon qui s’enroule sur une poulie et qui supporte un poids <p. Déterminer la position d’équilibre.

VII. Déterminer la position d’équilibre d’une tige pesante, reposant sur deux plans inclinés.

VIII. Une barre pesante AB, appuyée sur un étai CD, est soutenue par une force Q qui agit à l’extrémité A , dans une direction donnée. Déterminer la position de la barre, lorsqu’elle est sur le point de glisser

dans le sens BA.

IX. Quatre barres égales AB, BC, CD, DE, réunies bout à bout par des charnières B, C, D, sont en équilibre dans un plan vertical; les extrémités A, E sont engagées dans deux charnières situées sur une même horizontale. On connaît la dis-

tance AE, ainsi que la hauteur du sommet D au-dessus de AE. Déterminer la figure d’équilibre (*).

X. Déterminer le mouvement d’un point matériel pesant, lancé sur un plan incliné , non poli , dans une direction faisant un angle a avec la ligne de plus grande pente.

Résultats : i°. Les équations du mouvement sont

x '=—fg^n jr'=—gam i-fgj’

y étant le coefficient de frottement.

2 0 . En représentant par 0 l’angle que fait la tangente à la trajectoire avec l’axe des ordonnées , on change ces équations en j"sin 0-f-.v'0'cos0 = — y^sinO, j"cos0 — j'0'sin0 = — g-sinf —fg cos0.

3°. Celles-ci donnent les deux suivantes :

>"= — #sin/cos0— fg, s'O' — g-sinfcos0,

que l’on aurait pu obtenir sans aucun calcul.

4°. En désignant par a la vitesse initiale, et en posant

, sin/ . ( . 1 \*

k = -j-} c = asina^tang-«J »

on trouve

sin0 ^tang ^ 0^

5°. Cette valeur de la vitesse conduit à l’équation

cO'

gsinr,

in’O ^tang ^0^ smeut

l ‘ (1^ - fri) = (**).

d’où l’on conclut aisément

(*) La plupart des énoncés précédents sont tirés du Recueil de M. Jullien.

(**) Cette équation primitive suppose k différent do l’unité. Si k= 1,

le terme — — 7 1 — k

est remplacé par tz.

en faisant

6°. Un calcul très-simple donne enfin les formules suivantes :

z = tang - 0.

s' = *>= -f-z 3 ) z - '-*, x'=cz ~ k , y' — -c(i — zî ) z, *)

= r—, J — J -t-const.,

2g-Sim \I — ik I-f-2A/

= — ~(igsim

+const.,

~ 4fsini \2 — 2X k Z 2 + 2 k) cons *>

qui résolvent complètement le problème (*).

XI. Une table de forme elliptique est soutenue , en trois points A, B, C de sa circonférence, par des pieds verticaux, sans pesanteur, dont les hauteurs sont égales, et dont les extrémités inférieures reposent sur un plan horizontal. Comment doit-on disposer ces trois pieds pour que la stabilité de la table soit la plus grande possible, c’est-à-dire pour que le moment minimum de stabilité soit un maximum ( 339 , IV)?

Réponse: i° le triangle ABC doit être circonscrit à une circonférence concentrique avec l’ellipse; 2 0 a et b étant les demi-

axes de l’ellipse, le rayon de la circonférence égale

ab

(*) Ces formules sont sujettes à quelques restrictions, analogues à celle qui a été indiquée tout à l'heure.