Réciproquement, toute équation de Informe

Ax + B/-i-Cz-t-D = o ( 7 )

représente un plan.

En effet, si l’on combine l’équation ( 7 ) avec les équations d’une droite quelconque :

x = az+p, (1) yz=bz-\-q, (2) on obtient, en général, un seul système de valeurs pour x , y, z (**).

(*) Si cetle conclusion ne lui parait pas suffisamment évidente, le lecteur pourra développer ainsi la démonstration : L’équation (6), étant déduite des équations (3), (4 ), (5), est vériliée par tous les systèmes de valeurs de x, y, z qui satisfont à ces équations. Autrement dit, la surface représentée par l’équation (6) contient un point quelconque d’une position quelconque de la génératrice; donc cette équation (G) est celle qu’il s’agissait d’obtenir.

(**) Si les équations (i), (a), (3) sont incompatibles, la droite ne rencontre pas le plan; si elles sont indéterminées, la droite est située dans le plan.

Par conséquent , la suif ace représentée par P équation (y) ne peut être rencontrée en plus d'un point par une droite : cette surface est donc un plan.

31. Remarque. — Lorsque, dans l’équation (7), les coefficients A, B, C, D sont tous différents de zéro , le plan est oblique aux trois axes , et il ne passe pas par l’origine. Au contraire, si quelqu’un des coefficients est nul, le plan prend une position particulière. Par exemple, l’équation A.r-b Bj-bCz = o représente un plan passant par l’origine. De même, A.r-bB/-bD.= o est l’équation d’un plan parallèle h l’axe des z, etc.

32. Autre forme de l’équation du plan. — En opérant comme nous l’avons fait pour la ligne droite, pour l’ellipse, etc. [D. D., 102, 213), on peut remplacer l’équation {7) par cette autre équation très-symétrique :

— br -b - — i, (8) abc

dans laquelle a, b, c représentent les distances de l’origine aux points d’ intersection des axes avec le plan : évidemment ces distances ne doivent pas être nulles.

Problèmes sur le plan et la ligne droite.

33. Problème I. — Trouver l’équation d’un plan passant par trois points donnés.

Soient x 1 , y, z'\ x", y, z"; x"\ z m les coordonnées de ces points; soit

A j-f-Bj+Cz-t-D = o (1)

l’équation cherchée. Les coefficients A, B, C, D doivent satisfaire aux relations

Ax 1 B/' 4-Cz' -bD = o, \

Ax" -b By -b C z" -b D = o , ! (2)

A.r m -bB/ , -bCz"'-bD = o. )

ABC

Si l’on prend pour inconnues gj g» on déduit, des trois dernières équations ,

en posant { Alg ., 14),

A == x‘fz m — z l x n y'"—ÿx"z m -\-ÿz"x m ~ ;’r'x",

L =-yz'"-hz"y - z Y" +/z m -y'z" 4 -z'y,

N = — x'f+x'f ~x"y +/x B -/x'" 4- fx"\

D’ailleurs, on satisfait aux équations (4) en prenant A = L, B = M, C = N, D = A; donc l’équation (i) peut être remplacée par

La:4-Mj+Nz4-A = o. (5)

34. Interprétation géométrique des résultats précédents. — Les

coordonnées étant supposées rectangulaires, soient A' A" A'", B'B"B"', C'C"C W les projections du triangle ayant pour sommets les points donnés M', M\ M'". Représentons par a , b , c les aires de ces trois projections, et par V la somme des volumes des trois prismes tronqués

Nous aurons

N = ±ac, A = q: 2 V.

En effet, les trois premières valeurs résultent immédiatement de la formule de Stainoille, qui donne l’aire d’un polygone en fonction des coordonnées de ses sommets; et, pour obtenir la dernière, il suffît d’ajouter membre à membre les équations ( 2 ).

35. Problème II. — Trouver l’équation d’un plan passant par un point donné et parallèle à un plan donné.

Cherchons d’abord les conditions du parallélisme de deux plans donnés. Soient

Aæ+B/+Cz4-D = o, (i) A'æ4-B>h-C'z4-D'=o ( 2 )

L=±2fl, M = ± 2 £ ,

les équations de ces plans. Pour qu’ils soient parallèles, il faut et il suffit que leurs traces , sur deux des plans coordonnés, soient respectivement parallèles. Posons donc , dans les équations ( 1 ) et ( 2), successivement z — - o , x = 0 ; nous obtiendrons les deux conditions cherchées :

conséquemment, pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffit que les coefficients des variables , dans les équations de ces plans, soient proportionnels (*).

En revenant au problème proposé, supposons que l’équation (1) représente le plan donné, et que le plan inconnu soit représenté par l’équation ( 2 ). Comme on satisfait aux relations ( 3 ) en prenant

nous pouvons d’abord remplacer l’équation ( 2 ) par celle-ci :

Ax + Bj-|-Cz-f-D l ’= o. (4)

D’un autre côté, le point donné ayant pour coordonnées x\ y\ z\ le coefficient D" sera déterminé par la condition

Ax'-f-By+Cz'+D" = o.

L’équation demandée est donc

36. Problème HL — Trouver V équation d*un plan passant par un point donné et par une droite donnée.

Soient x', y ', z' les coordonnées du point; soient

x — az + p, y = bz-\-q les équations de la droite.

Si on les ajoute membre à membre, après avoir multiplié l’une d’elles par un facteur /, on obtient l’équation

x — az — + — bz — < 7 ) = o,

(*) Celte condition subsiste quand les plans sont parallèles à l’un des axes. On l’obtient d’ailleurs, sans aucun calcul, en faisant attention que les deux plans n'ont aucun />oint commun, si leurs équations sont incompatibles.

qui représente tous les plans passant par la droite donnée : cette proposition résulte d’un raisonnement que nous avons souvent employé. Si l’on veut considérer, parmi ces plans, celui qui passe par le point donné , on devra déterminer le paramètre À par la condition

x ! — az ' — p~ 3 r'l'{y ' — bz'-\-q ) = o.

L’équation cherchée est donc

x — az — p y — bz — q

x' — az' — p y' — bz! — q

37. Problème IV. — Trouver V équation d’un plan passant par un point donné ( x\ y’, z! ) et par l ’ intersection de deux plans donnés , ayant pour équations

Ax + B/+Cz-4-D = o, (i) A'.z-1-B'j-1-C'z4-D'= o. (2)

En opérant comme dans le problème précédent , on trouve

A.r-4-Bjy-i-Cz-f-D A'.r-j-B'jy- 1 -C'z-l-D' Ax'-t-B/'-f- Cz'+ Ü “ AV + By+C'z' + D'’

38. Problème V. — Trouver les projections de l’intersection de deux plans.

Entre les équations ( 1 ), ( 2 ) du numéro précédent, dont l’ensemble représente l’intersection (7), éliminons une des coordonnées : l’équation résultante , représentant le plan qui projette l’intersection sur le plan des deux autres coordonnées, sera l’une des équations cherchées.

Par exemple, la projection de l’intersection des deux plans, sur le plan des .rz, est représentée par l’équation

( AB' - BA' ) a- + (CB' - BC' ) z + DB' - BD' = o , jointe à r=o.

39. Problème VI. — Trouver le point de rencontre d’une droite et d’un plan donnés.

Si , entre l’équation du plan ,

Ax-hB/+Cz-+-D = 0 , ( 1 ) et les équations de la droite ,

X = az + p, ( 2 ) y=bz + q, (3)

on élimine x et r, on trouve

(Afl-bB6-l-C) z-+-A/>+B? + D =j>; (4 1 d’où, en supposant Art + B6 + G différent de zéro,

telle est l’ordonnée du point cherché; etc. (30).

40. Conditions exprimant qu'une droite est parallèle a un plan .

Si l’équation (4) se réduit à la forme m = o , les équations ( i ) ,

(a) , (3) sont incompatibles : les conditions dont il s’agit sont donc .

Art + B&-4-C = o, A/>4-Br/ + D> o. ^

41 . Conditions exprimant qu’une droite est dans un plan.- La droite sera dans le plan, si l’équation (4) est identique , c est-a-dire

Si ' ° n 3 Afi4-Bi-t-C = o, A/? + B<74-D = o.