Problème X. — Trouver V angle d'une droite et d'un plan

Soient Ax + Bj+Cz + D = o, (P)

x = az-\-p, Y — bz-\-q (D)

les équations du plan P et de la droite D. Par l'origine, abaissons une perpendiculaire D' sur le plan P : l’angle formé par les droites D, D' sera le complément de l’angle cherché. D’ailleurs, les équations de la perpendiculaire sont

donc (25)

cos(D, D')= sin(P, D) =

r>0. Problème XI. — Calculer la distance S de deux points M', M”, connaissant leurs coordonnées rectangulaires x', y\ z'; x\ y”, z\

Si, par chacun des deux points, on fait passer trois plans, respectivement parallèles aux plans coordonnés, on formera un parallélipipède rectangle dont o sera une diagonale. De plus, quelles que soient les positions des points M', M", les arêtes de ce parallélipipède seront représentées par les valeurs absolues des binômes x —x , y —y , z — z .

Conséquemment

S = i/(x'-x"Y+(y'- yy+(z'-zÿ.

51. Remarque. — La distance de l’origine à un point (x‘, y', z') a pour expression

52. Problème XII. — Trouver la distance d'un point donné à un plan donné.

Le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan est représenté (43, II) par les trois équations

Ax + B/+Cz-f-Di: o, x — x 1 y — y' z — z' A ~ B ~ C“

D’ailleurs, 3 étant la longueur de cette perpendiculaire , on a (50)

Introduisant, dans l’équation du plan, les différences x — x ', y— y', z — z'[D. D., US), et posant, pour abréger,

D'= Ax'+B/' + Cz'-t-D, on change cette équation en

A(x — x') + Jî{y— j')-j-C(z — z')+D' = o.

Les propriétés des proportions donnent ensuite

x — x' y~y' z — z' A(x — æ') + B(/- j’) + C(z — z') ABC A’ 4- B 2 -fl?

~ A J -fB 2 -f C 2 ~ v /a>4 IP + C 2 ’

donc enfin

A-r'+Bj'+Cz'+ D ±V/A 2 + B J + C 2

53. Remarques. — I. La distance de l’origine au plan P a pour valeur

D. Dans ces formules, on donne au radical le signe du numérateur (P. D ., 116).

ni. Soit p la distance de l’originô à un plan ; soient a, p, y les angles formés par p avec les trois axes : l’équation du plan est

.z cos a -I-/ cos p + z cos y = /?.

54. Problème XIII. — Trouver la distance d’un point donné M à une droite donnée AB.

Première solution. — Les équations de la droite étant x = az-\-p, (1) y-bz + q, (2)

imaginons, par le point M, un plan perpendiculaire à AB. Soit P le point où AB perce le plan : MP sera la distance cherchée S. Or, le plan auxiliaire a pour équation (43)

Déplus, S 2 ~(x~~x , y-h{x—y)' 1 -\-{z—z'y. ( 4 )

Donc, en résolvant les équations (i), (2), (3) par rapport a x — x\ y—y\ z — z', et en substituant les valeurs de ces inconnues dans l’équation (4), on aura la formule demandée. On obtient d’abord

x — x'=a(z — z') — [x' — az' — - p),

y—y'-b{z — z') — [y' — bz'- 7 );

puis, en posant A = x'—az' — p y H—y'—bz'—q :

, ab A — ( (P + 1 ) B y P ~ + 1 ’

, — (b 1 -Y- 1 ) A + «iB

Après quelques réductions faciles , on trouve enfin

(i*4-i) A 1 — afl£AB4-(«*4-i)B* à + 1

Seconde solution. — On arrive à un résultat plus symétrique, en procédant comme il suit :

Soient a , b , c les coordonnées d’un point A de la droite AB, et a, (3, 7 les angles formés par cette droite avec les axes. Le triangle rectangle APM donne

S = AMsinQ.

D’un autre côté, en désignant par a', (3', 7 ' les angles que fait AM avec les axes, on a (26, III)

sin J 0 = ( cos a cos |3' — cos (3 cos «' )’

+ (cos [3 cos 7 '— cos 7 cos (3' ) J - 1 - (cos 7 cos a' — cos a cos 7 ' )’;

et, par le principe des projections, x ' — a

cos <*' = '

cos(3' = £-i,