AM ' “ AM ' AM

Par conséquent ,

§*= [(x' — a) COS ^ — [Ÿ ~ b) cosa] 3 4 - [(y — b ) COS7 — ( z' — c) cos( 3 p -+-[(z' — c)cosa — (x 1 — rt)cos7]’ (*)•

55. Remarque. — En projetant AM sur AB , puis AP sur les trois axes, on obtient, pour les coordonnées du point P,

r= a-f-/cosa, /=6 + ^COS(3, z = c 4 -/C 0 S 7 .

Dans ces formules ,

/ = ( x' — « ) cos a 4 - ( 7 ' — b ) cos (3 4- ( z' — c ) cosy.

(*) A cause de <?’= AM — AP , on peut encore écrire, au lieu de la dernière formule,

3' = (x'-a)' + (y'-by-+-(e'-cy

— [(x' — a)cosa-t-(.r'—6)cos/3 c)cosy]\

ANALYTIQUE. a5

56. Problème XIV. — Déterminer, en grandeur, la plus courte distance de deux droites AB, A' B'.

En supposant, comme dans le Problème XIII, h droite AB déterminée par un de ses points A et par sa direction , nous avons , pour

les équations de cette ligne,

x— a y— b z — c cos a COS P ~ cosy Semblablement, la droite A'B' est représentée par

cosa' — COSf>' cosy'

Soit CC' la commune perpendiculaire à ces deux droites : la plus courte distance S est la projection de AA' sur CC'. Appliquant le principe des projections, et représentant par >, p, v les angles formés parCC' avec les axes, nous aurons donc

S = (a' — a) cos a + ( b'— é) cosp-f- (c' — c) cosv.

Les angles *, p, v doivent évidemment satisfaire aux relations cosXcosa +cospcosp -t-cosveosy - o, cos* cos «'+ cos p cos 4- cosv COS 7 ' = o, cos J * -f- cos J p 4- cos J v = 1 .

On tire, des deux premières,

co s À

cos fi cos 7 ' — cos 7 cos fi'

cosp

— COS 7 cosa' — cosa cosy'

COSV

~ COSOCCOSfi'— C0S(îC0Sa'

En vertu de la troisième , chacun de ces rapports est égal à »

0 étant l’angle des deux droites données (26, III). Par conséquent, . . , , cosScosy' — cosycosS'

' ' Gin H

sinô

cosy cosa'— cosa cosy ' sin 0

. , , cos a COS &' — COS 6 cos a'

' ' sin 6

a 6 GÉOMÉTRIE

57. Remarque. — La perpendiculaire à deux droites données est déterminée, en direction (*), par les formules cos - A cos ? cos y' — cosy cos p'

COS fi =

cosycoss: — cosst cos 7

COS v

sinO

cos a cos p' — cos 3 cos a' sin 0

58. Problème XV. -- Déterminer, en position, la plus courte distance de deux droites.

Soient, comme dans le problème précédent,

cos a

COSp

cos 7 ’

COS a'

COS p'

~ cosy' ’

les équations des deux droites AB, A'B'. La plus courte distance CC' est l’intersection des deux plans ACC', A'C'C, dont il s’agit de trouver les équations.

On peut d’abord remarquer que l’équation de tout plan passant par la droite ( 1 ) peut être mise sous la forme

C0S5C ' ' cosp cosy

m étant un paramètre arbitraire. Ce plan coïncidera avec ACC', si m satisfait à la condition

ni . 1 — (— m 1

COSA -T- COSU.-I-. ■ cosv = O,

COS a cos P ' cosy

dans laquelle 1, p, v représentent, comme précédemment, les angles formés , avec les trois axes, par la direction de la plus courte distance. En effet, cette relation exprime que le plan (3) est parallèle à une droite faisant des angles À, y., v avec les trois axes (40), L’élimination d cm, entre les équations (3), ( 4 ), donne (cospcosv — cosycosu.) (.r — a)

+ ( cos 7 cos). — cos« cosv ) (y — b )