Deuxième transformation. — Passer (P un système d'axes
rectangulaires à un système quelconque d'axes, de même origine que le premier.
Soient x, y , z les coordonnées rectangulaires d’un point quelconqueM; soient x',y',z' les coordonnées de ce point , relativement à trois axes quelconques Ox 1 , O y',
O z' passant par la première origine. Si nous projetons sur Ox le contour polygonal OR'P'M et la droite OM qui leferme, nousaurons
OR = OR'cosx'Ox-i-R'P'cosj'OjM-P'Mcos z' Ox,
ou x — x' cos ( x\ x)+j'cos(j', x) - 4 - z'cos (z', x).
3o * GÉOMÉTRIE
Un simple changement de lettres donne ensuite
y = x' cos { x\y ) + y ' cos ( y ', y) 4- z' cos ( z',y ) , z = x'cos{x', z)+y' cos(j', z)4-z'cos(z', z).
Pour abréger, on écrit ainsi ces formules :
x — ax' -f- by' +cz', y = a' x' 4- b'y'+ c' z', z =.a"x'+b"y'-{-c"z
mais on fait attention que, les droites Ox, O/, Oz étant rectangulaires, les neuf cosinus désignés par a , b, c, a\ b' c', a", b", c" doivent satisfaire aux conditions suivantes :
61. Troisième transformation. — Passer d’un système (Taxes rectangulaires à un autre système (Taxes rectangulaires , ayant même origine.
Il suffit évidemment, pour résoudre cette question, d’employer les formules ( 1 ), en y joignant de nouvelles équations de condition , propres à exprimer que les nouveaux axes sont rectangulaires. Ces équations sont (27) :
ab-\-a'b'+a n b"z= o, 1 bc+b'c'+b n c n = o, (3)
ca c' a' c" a” — o. )
62. Remarques. — I. Lorsque les deux systèmes d’axes sont rectangulaires , les neufs quantités «, b , c, . . . devant satisfaire aux six équations ( 2 ), (3), il en reste trois dont on peut disposer arbitrairement; mais de manière, cependant, qu’il en résulte des valeurs réelles pour les six autres.
II. Si l’on ajoute les équations ( 1 ) après les avoir multipliées, respectivement, par «, a', a", par b, b 1 , b" , par c, c', c" , on trouve
x' ~ ax~{- a' y + a" z, j y'—bx-yb'y+b"z, > (4)
z' == ex -f- c'y-\-c" z. )
ANALYTIQUE. 3i
III. On aurait pu obtenir, sans aucun calcul, ces dernières valeurs; caries deux systèmes d’axes étant rectangulaires, les nouvelles coordonnées doivent se déduire des anciennes, absolument comme celles-ci ont été déduites des autres.
IV. De la dernière remarque , on conclut que les quantités a. b, c, . . . doivent satisfaire aux six nouvelles relations
à 1 b* -f- c 1 = i , ) a *+b' t +c n = i, [ (5) a u ’-hb n + c n =i, )
aat -f- bb' ce' = o, n'a"+b'b” + c'c H =o, a"a-\-b"b +c"c = o,
analogues aux équations ( 2 ) et (3).
63. Quatrième transformation. — Passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées polaires.
Prenant l’origine pour pôle et Ox pour axe polaire, nous aurons, dans les deux triangles rectangles ORM, MPR ,
OR = OM cos MO x, MR = OMsinMO-r, RP = MR cosMRP, MP = MR sinMRP,
c'est-à-dire, en conservant les notations du n° 14 :
x = ucosO, y — u sinOcosj', z= i/sinSsin} :
telles sont les formules cherchées.
Applications de la transformation des coordonnées.
64. Théorème I. — Un changement de coordonnées rectilignes ne change pas le degré de l’équation d'une surface algébrique (. D.D. , 94).
65. Théorème II. — Une surface d’ordre m ne peut être rencontrée en plus de ni points par une droite (1). D., 98 ).
66. Théorème III. — Une surface d’ordre m ne peut être coupée par un plan suivant une ligne d’un ordre supérieur à m.
Soit F (x, y, z) = o l’équation de la surface, équation que l’on suppose de degré m. Si l’on rapporte cette surface à de nouveaux axes, en prenant pour plan des x'y' le plan sécant, on obtiendra une équation F (x\ y\ z‘) = o, dont le degré sera m (64). La section faite par le plan donné sera représentée par cette dernière équation, jointe à z' = o; donc, etc.
67. Problème I. — Exprimer la distance de deux points , en fonction de leurs coordonnées obliques.
Cherchons d’abord la distance S d’un point quelconque M à l’origine des coordonnées. Soient x, y , z les coordonnées rectangulaires de ce point, x\ y\ z' étant ses coordonnées obliques. Nous aurons
ou, en substituant pour x, y , z, leurs valeurs (60) :
& = x n +y n -\-z n -4-a (ab+a'b'+a”b”)x'y'
