I. Résoudre les équations

ri 1 a' 2 -1- a" 2 — i , ab + a' b' 4- a" b" = o, j

C î +c' , + c" 3 = i, c« + c'n'4-f"rt" = o, )

par rapport aux quantités a", b', b", c, c', c".

Résultat : En posant

a = cosô, a' = sin 9 sin 'j', b = — sin 0 sin ? ;

on trouve

a" = sin 9 cos'!',

b' = cos 0 sin (j- sin ^ + cos ? cos £"= cos 9 sin ? cos ^ 4- cos ? cos 'J', c = — sin 9 cos?, c' = cos 9 cos? sin 4* — sin ? cos'J', c" = cos 9 cos ? cos ^ 4- sin ? cos ÿ (*).

II. Théorème. — Si neuf quantités satisfontaux six équations(i), elles satisfont également: i° aux six équations

ri 1 4 -b* 4-c* =i, aa' -\-bb' 4 -ce' — o, j H n -H b n 4- c n — i , a' a!'-\-b' b”-\-c' c" — o, t (a) ri n 4- b" 1 + c" 2 = i, a” a 4- b" b 4- c" c = o; ) a 0 aux dix équations

b'c u -c'b”=±a, c'a" — a'c"=ztb , c n a-aV -±c, \ b" c — c“b ~±a\ c"a — a"c —dzb' , a"b— b" a — zkc', I bc' —ch' —±a", ca! —ac’ — =b b”, b"c — c" b =±c", 1 ^ ab'c*—ac'b"-\-ca'b u —ba'c’ , +bc'j , ~cb , a a =zh i ; )

3° à l’équation

a’ a' 2 a" 2 4- ft 2 b' 1 b" 1 + c V 2 c" 2 = a 2 b 1 c 2 4- a' 2 b' 1 c 11 4- a" 2 2 c" 2 ; ( 4 )

(*) Ces formules, très-utiles dans la Mécanique rationnelle, sont connues sous le nom do formules d’Euler.

4° à l’équation

I 5 m *+( r x )» + (^ J ')»+(^-/)« + 4 WB :o, (5) dans laquelle m t —d l a n a n -yb' t b li b n -yc 1 c n c n ,

p = ab 1 c" -y a' b" c -ya n bc\ q = ab” c’ -y a‘ b c n -y a n bc\

/'= ca'a”-yc , a"a-yc"aa\ s" = cb' b” -y c' b" b -y c” bb' . (*)