Ca + zCb-hiCc + D. j

71. Discussion: i°. Lorsqu’on peut satisfaire aux équations du centre par des valeurs de «, b, c, finies et déterminées , la surface admet un centre unique, et la réduction à la forme (3) est possible d’une seule manière. De plus , si l’on ajoute membre à membre les équations (4) et ( 2 ), après avoir multiplié les trois dernières par a , b , c , on trouve

Ainsi le terme indépendant des variables , dans P équation transformée , se compose du terme indépendant primitif, augmenté de la demi-somme des termes du premier degré , etc. ( D . D., 200).

2 0 . Lorsque les équations ( 2 ) sont incompatibles, la surface est dépourvue de centre.

3°. Si le système ( 2 ) se réduit à deux équations distinctes, la surface a une infinité de centres , dont le lieu est la droite représentée par deux quelconques des équations ( 2 ) (*).

4°. Enfin , si les équations ( 2 ) se réduisent à une seule équation , la surface admet une infinité de centres , ayant pour lieu le plan représenté par cette équation.

(*) Les coordonnées a , b, c étant regardées comme des variables , chacune des équations (2) représente un plan. Dans le cas que nous considérons, les trois plans se coupent suivant une meme droite, lieu des centres.

72. Dans le cas où le lieu des centres est une droite AB, l’équation ( 1 ) représente un cylindre elliptique ou hyperbolique , ayant pour variolés : une droite, un lieu imaginaire, ou deux plans non parallèles.

En effet, tout plan passant par AB coupe la surface suivant une ligne du second ordre (66) qui admet évidemment pour centres

tous les points de AB; celte ligne se c D réduit donc au système de deux paral-

A * b lèles CD, C'D', situées à égales dis-

c ’ D tances de AB; et, par conséquent, la

surface est un cylindre ayant AB pour axe de figure. Mais, d’un autre côté, tout plan qui rencontre AB en un point O coupe la surface suivant une ligne ayant le point O pour centre; etc.

73. On voit, avec la même facilité, que si le lieu des centres est un plan, l’équation ( 1 ) représente deux plans parallèles, ou deux plans confondus en un seul, ou un lieu imaginaire.

7i. Remarques. — I. Dans les deux derniers cas, l’équation ( 1 ) peut, d’une infinité de manières, être réduite à la forme (3).

II. Pour qu’il y ait un centre unique, il faut et il suffit que le déterminant du système ( 2 ) soit différent de zéro. Co déterminant a pour valeur